Противоречия гипотез о простых числах

[vicvolf]

В гипотезах Харди-Литлвуда, Бейтмана-Хорна, Крамера и др. делается предположение, что вероятность события, что натуральное число х является простым равна $1/\ln(x)$ (1). В общем случае, это спорное предположение. Однако все последующие выводы темы базируются на предположении (1). По этому вопросу у меня была недавно открыта отдельная тема, наверно об этом я буду также писать в дальнейшем, сейчас скажу одно, что х действительно должно являться неизвестным натуральным числом, иначе, если х - известно, то вероятность его быть простым может быть равна только 0 или 1.
На основании теоремы Мертенса:
$\prod_{p<x}(1-1/p) \sim e^{-\gamma}/\ln(x)$, (2) где $\gamma$ - постоянная Эйлера
справедливо соотношение:
$0,5e^{\gamma}\prod_{p<\sqrt{x}}(1-1/p) \sim 1/\ln(x)$. (3)
Воспользуемся тем, что, если натуральное число х является простым, то оно не делится на простые числа р, для которых выполняется $p<\sqrt{x}}$.
Разобьем натуральные числа на р арифметических прогрессий:
$pk, pk+1,..., pk+(p-1)$, где р - произвольное простое число, а k - натуральное число.
На основании теоремы Дирихле во всех этих прогрессиях кроме прогрессии $pk$ имеется бесконечное количество простых чисел и их количества асимтотически равны, поэтому вероятность, что число х не делится на р равна: $(p-1)/p=1-1/p$.(4)
Следовательно, если р равно 2, то вероятность, что число х не делится на 2 равна 1/2, если р равно 3, то вероятность, что число х не делится на 3 равна 2/3 и.т.д.
Так как вероятности событий, что число х не делится на разные простые числа могут быть зависимы, то вероятность, события что неизвестное натуральное число х является простым $A_1$ на основании (5) и теоремы Дирихле можно записать в виде:
$Pr(A_1) \sim C_1\cdot \prod_{p<\sqrt{x}}(1-1/p)$, (6) где $C_1$ - постоянное число.
С другой стороны, учитывая предпосылку (1) и формулу (3):
$Pr(A_1) \sim 0,5e^{\gamma}\prod_{p<\sqrt{x}}(1-1/p)$. (7)
Сопоставляя формулы (6) и (7) получим:
$C_1=0,5e^{\gamma}$. (8)
Таким образом, события, что неизвестное натуральное число х не делится на разные простые числа (2, 3 ,...) зависимы с коэффициентом зависимости $C_1=0,5e^{\gamma}$.
Однако в гипотезах о простых числах Харди-Литлвуда, Бейтмана-Хорна делается предположение о независимости данных событий, что является не верным при выполнении предпосылки гипотез (1).

[vicvolf]

Естественно возникает вопрос, если есть такое противоречие, то справедливы ли сами гипотезы? Очевидно справедливы, что подтверждено многими экспериментальными данными. Тогда возникает второй вопрос - почему? Вот это я постараюсь объяснить.

Рассмотрим вероятность события $A_2$, что неизвестное натуральное число х+2n (n- натуральное число) является простым.
Сделаем замену переменных. Пусть неизвестное натуральное число $y=x+2n$. Тогда на основании (7) получаем:
$Pr(A_2) \sim 0,5e^{\gamma}\prod_{p<\sqrt{y}}(1-1/p)=0,5e^{\gamma}\prod_{p<\sqrt{x+2n}}(1-1/p)=$. (9)
Учитывая асимптотику, т.е. что х стремится к бесконечности, на основании (9) получим:
$Pr(A_2) \sim 0,5e^{\gamma}\prod_{p<\sqrt{x}}(1-1/p)$.(10)
Если Вас не убедил первый вариант доказательства, то другой вариант нахождения $Pr(A_2)$ через арифметические прогрессии.
Разобьем натуральные числа на р арифметических прогрессий:$pk, pk+1,..., pk+(p-1)$, где р - произвольное простое число, а k - натуральное число.
Если р=2, то у нас имеются 2 арифметические прогрессии: $2k, 2k+1$. Чтобы число х+2 не делилось на 2, то х не должно принадлежать прогрессии $2k$, так как в этом случае х+2 принадлежит прогрессии $2k+2$ и делится на 2. Аналогично при любом n в $x+2n$. Чтобы число $x+2n$ не делилось на 2, то х не должно принадлежать прогрессии $2k$, так как в этом случае $x+2n$ принадлежит прогрессии $2k+2n$ и делится на 2. Поэтому вероятность события, что число $x+2n$ не делится на 2 равна 1/2.
Если р=3, то у нас имеются 3 арифметические прогрессии: $3k, 3k+1, 3k+2$. Чтобы число х+2 не делилось на 3, то х не должно принадлежать прогрессии $3k+1$, так как в этом случае х+2 принадлежит прогрессии $3k+3$ и делится на 3. Чтобы число х+4 не делилось на 3, то х не должно принадлежать прогрессии $3k+2$, так как в этом случае х+2 принадлежит прогрессии $3k+6$ и делится на 3. Аналогично при любом n имеется только одна прогрессия из 3, при котором $x+2n$ делится на 3. Поэтому вероятность события, что число $x+2n$ не делится на 3 равна 2/3.
и.т.д.
Таким образом, вероятность события, что $x+2n$ не делится на произвольное простое число р равна: $(p-1)/p=1-1/p$, т.е совпадает с формулой (4). Поэтому вероятность события, что $x+2n$ не делится на все $p=2,3,....$ определяется формулой (10). Следовательно, вероятность, что неизвестное натуральное число $x+2n$ является простым совпадает с формулой (7), т.е $Pr(A_2)=Pr(A_1)$.(11)

[vicvolf]

Сделаем небольшое отступление и поговорим в каких случаях события, что неизвестное натуральное число х не делится на разные простые числа зависимы, а в каких независимы.
Сначала определим вероятность события $B_1$, что неизвестное натуральное число х делится на простое число $p_1$.
Разобъем все натуральные числа на $p_1$ арифметических прогрессий: $p_1n,p_1n+1,p_1n+2,...p_1n+(p_1-1)$.(12) Очевидно, что эти прогрессии покрывают весь ряд натуральных чисел и количество натуральных чисел во всех указанных прогрессиях равны.
Для того, чтобы х делилось на $p_1$ оно должно принадлежать только одной арифметической прогрессии $p_1n$ из $p_1$ арифметических прогрессий. Поэтому вероятность события $B_1$, что неизвестное натуральное число х делится на простое число $p_1$ равно: $Pr(B_1)=1/p_1$. (13)
Аналогично определим вероятность события $B_2$, что неизвестное натуральное число х делится на простое число $p_2$: $Pr(B_2)=1/p_2$. (13)
Воспользуемся тем, что если неизвестное натуральное число х делится одновременно на простые числа $p_1,p_2$, то оно делится и на произведение чисел $p_1 \cdot p_2$. Поэтому можно записать:
$Pr(B_1 \cdot B_2)=1/p_1p_2=1/p_1 \cdot 1/p_2=Pr(B_1)\cdot Pr(B_2)$.(14)
Из формулы (14) следует независимость событий $B_1$ и $B_2$.
Вероятность, что неизвестное натуральное число х делится на k простых чисел: $p_1,p_2,...p_k$ равна:
$Pr(B_1 \cdot B_2 \cdot...\cdot B_k)=1/(p_1p_2...p_k)=1/p_1 \cdot 1/p_2 \cdot...\cdot1/p_k=Pr(B_1)Pr(B_2)...Pr(B_k)$.(15)
Из формулы (15) следует независимость конечного числа событий $B_1,B_2,...B_k$.
Важным свойством независимости конечного числа событий является то, что дополнения этих событий также независимы, т.е:
$Pr(\bar{B_1} \cdot \Pr(\bar{B_2})\cdot...\cdot Pr(\bar{B_k})=Pr(\bar{B_1}) \cdot Pr(\bar{B_2}) \cdot...\cdot Pr(\bar{B_k})$.(16)

Продолжение следует

[vicvolf]

В формуле (16) описка:
$Pr(\bar{B_1} \cdot \bar{B_2}\cdot...\cdot \bar{B_k})=Pr(\bar{B_1}) \cdot Pr(\bar{B_2}) \cdot...\cdot Pr(\bar{B_k})$.(16)
Таким образом, независимыми в данном случае являются события, что х не делится на простые числа: $p_1,p_2,...,p_k$.
Вероятность $P(\bar{B_i})=1-1/p_i$.(17)
На основании формул (16), (17) вероятность события, что неизвестное натуральное число не делится на простые числа: $p_1,p_2,...,p_k$ равна:
$Pr(\prod_{i=1}^k \bar{B_i})=\prod__{i=1}^{k} (1-1/p_i)$.(18)
В частном случае из формулы (18) при $p_1=2,p_2=3,...p_k$, где $p_k<\sqrt{x}$, получаем вероятность события, что неизвестное натуральное число х является простым равна:
$Pr(B)=\prod_{p<\sqrt{x}}(1-1/p)$.(19)
Таким образом, формула (19) выведена из независимости конечного числа событий.
Для асимптотических равенств (7), (10) не выполняется независимость бесконечного числа событий, поэтому используется теорема Мертенса, исходя из предпосылки, что вероятность неизвестного натурально числа х быть простым равна $1/\ln(x)$. Поэтому в данном случае события, что неизвестное натуральное число х не делится на бесконечное число простых чисел зависимы.

[Aritaborian]

vicvolf в сообщении #792221 писал(а):

справедливы ли сами гипотезы? Очевидно справедливы, что подтверждено многими экспериментальными данными.

Дальше можно не читать. Вы вообще в курсе, как работает математика?

[vicvolf]

Aritaborian в сообщении #793111 писал(а):

vicvolf в сообщении #792221 писал(а):

справедливы ли сами гипотезы? Очевидно справедливы, что подтверждено многими экспериментальными данными.

Дальше можно не читать. Вы вообще в курсе, как работает математика?

Не хочется впадать в философский диспут на тему - как работает математика, что такое математика. Гипотезы не доказаны, поэтому других критериев их истины кроме проверки расчетами - нет. Согласен, наверно здесь не подходят слова -экспериментальные данные. Я имел в виду - проверку расчетами. Но неудачное выражение не является причиной не читать тему. Впрочем заставлять не буду!

[vicvolf]

Продолжение

Найдем $C=Pr(A_2/A_1)/Pr(A_2)$, где $Pr(A_2/A_1)$ - это условная вероятность, что неизвестное натуральное число $x+2n$ будет простым при условии, что число х уже является простым.
Величина $Pr(A_2/A_1)$ зависит от n. Поэтому величина С также зависит от n. Для определенности найдем значение С при n=1. Аналогично можно найти значение С других значений n.
Обозначим $A_{21}$ событие, что неизвестное натуральное число х+2 является простым. Определим вероятность, что неизвестное натуральное число $x+2$ будет простым при условии, что число х уже является простым - $Pr(A_{21}/A_1)$.
Разобъем все натуральные числа на р арифметических прогрессий, где р - произвольное простое число: $pk, pk+1,...pk+(p-1)$, где k - натуральное число.
Простое число может находится только в составе р-1 арифметических из р: $pk+1,...pk+(p-1)$. Если простое число принадлежит арифметической прогрессии $pk+(p-2)$, то простое число х+2 должно принадлежать арифметической прогрессии $pk+p$ и делится на р, следовательно, не быть простым. Таким образом из р-1 прогрессий остается р-2. Поскольку на основании теоремы Дирихле плотности простых чисел в указанных арифметических прогрессиях равны, то вероятность, что неизвестное натуральное число х+2 не делится на произвольное простое число р, при условии, что неизвестное натуральное число х является простым равна: $(p-2)/(p-1)$ (20). За исключением случая, когда р=2, так как в этом случае вероятность равна 1.
Учитывая, что для асимптотических формул не выполняется независимость бесконечного числа событий и используя теорему Мертенса, исходя из предположения гипотез, что вероятность неизвестного натурального числа быть простым равна $1/\ln(x)$ получим: $Pr(A_{21}/A_1) \sim 0,5e^{\gamma} \prod_{2<p<\sqrt{x}} (p-2)/(p-1)$.(21)
Учитывая формулу (10) получаем: $C=Pr(A_2/A_1)/Pr(A_2) \sim \frac {\prod_{2<p<\sqrt{x}} (p-2)/(p-1)} {\prod_{p<\sqrt{x}} (p-1)/(p)}=2 \prod_{2<p<\sqrt{x}} \frac {p(p-2)}{(p-1)^2}$. (22)
Таким образом, коэффициенты $0,5e^{\gamma}$ в (22) сокращаются и не влияют на окончательный результат: $C=2 \lim \limits_{x \to \infty} {\prod_{2<p<\sqrt{x}} (\frac {p(p-2)}{(p-1)^2})}=2\prod_{p>2}\frac {p(p-2)}{(p-1)^2}$,(23) что соответствует гипотезе Харди-Литлвуда.

[megamix62]

Цитата:

гипотезе Харди-Литлвуда.

Из каких книг берем формулы

[vicvolf]

megamix62 в сообщении #793902 писал(а):

Цитата:

гипотезе Харди-Литлвуда.

Из каких книг берем формулы

http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

[shwedka]

vicvolf в сообщении #793154 писал(а):

Гипотезы не доказаны, поэтому других критериев их истины кроме проверки расчетами - нет.

Проверка расчетами не является критерием истины гипотезы.

-- Чт ноя 28, 2013 23:01:40 --

vicvolf в сообщении #793839 писал(а):

Продолжение

Это не продолжение, а повторение. Вас уже неоднократно хватали за фалды, когда Вы употребляли неопределенные понятия, вроде

Цитата:

вероятность, что неизвестное натуральное число $x+2$ будет простым...

Вы заменили его на что-то другое, но стоит отвернуться, снова к нему возвращаетесь.
Пока вероятностная мера не определена о вероятности события говорить нельзя.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #794063 писал(а):

Это не продолжение, а повторение. Вас уже неоднократно хватали за фалды, когда Вы употребляли неопределенные понятия, вроде
вероятность, что неизвестное натуральное число $x+2$ будет простым...

В начале темы я писал

vicvolf в сообщении #791398 писал(а):

В гипотезах Харди-Литлвуда, Бейтмана-Хорна, Крамера и др. делается предположение, что вероятность события, что натуральное число х является простым равна $1/\ln(x)$ (1). В общем случае, это спорное предположение. Однако все последующие выводы темы базируются на предположении (1).

Название темы и вся эта тема написана в рамках предположений гипотез и целью темы было - как раз показать, к каким противоречиям это приводит. Вы не обратили внимание на самое главное!

Цитата:

Пока вероятностная мера не определена о вероятности события говорить нельзя.

Полностью с Вами согласен. Скажу больше. Хотя в данной гипотезе алгебра событий выполняется, но вместо свойства аддитивности выполняется мультипликативность. Поэтому это не только не вероятностная мера, но вообще не мера.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #794190 писал(а):

Хотя в данной гипотезе алгебра событий выполняется, но вместо свойства аддитивности выполняется мультипликативность. Поэтому это не только не вероятностная мера, но вообще не мера.

Слова лишены смысла.

Цитата:

алгебра событий выполняется

что это означает? 'алгебра выполняется'
В гипотезах ничего об алгебре событий не говорится.
Вы приписали Х-Л вероятностные заявления - они ТАКИХ гипотез не выдвигали.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #794213 писал(а):

Вы приписали Х-Л вероятностные заявления - они ТАКИХ гипотез не выдвигали.

vicvolf в сообщении #791398 писал(а):

В гипотезах Харди-Литлвуда, Бейтмана-Хорна, Крамера и др. делается предположение, что вероятность события, что натуральное число х является простым равна $1/\ln(x)$ (1).

Гипотеза Харди-Литлвуда является частным случаем гипотезы Бейтмана-Хорна.
В статье Бейтмана Хорна, которая приводится здесь http://www.ams.org/journals/mcom/1962-1 ... 8632-7.pdf как раз говорится об использовании вероятностного подхода:
The heuristic argument in support of (1) may be put into various forms, but essentially amounts to the following. In some sense the chance that a large positive integer m is prime is around 1/logw.
В гипотезе Крамера http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r's_conjecture также используется вероятностный подход:
Cramér's conjecture is based on a probabilistic model (essentially a heuristic) of the primes, in which one assumes that the probability of a natural number of size x being prime is 1/log x. This is known as the Cramér model of the primes. Cramér proved that in this model, the above conjecture holds true with probability one.

[shwedka]

Вот и прекрасно, что Вы скопировали
In some sense Понимайте: в некотором смысле, не в прямом вероятностном смысле, а как-то по-другому.
Cramér's conjecture is based on a probabilistic model
То есть, вероятностная МОДЕЛЬ! Гипотеза касается не распределения простых чисел, а распределения вероятностных характеристик в модели!

Вы же, не сомневясь, применяете непосредственно методы теории вероятности там, где еще вероятностного опицания нет.

Вам можно говорить о вероятностях чего-то, связанного с простыми числами, ТОЛЬКО после того, как Вы зададите пространство событий, вероятностную меру.
Крамéр же и все остальные говорят или по стандарту соответствующего жаргона подразумевают: Вот возьмем вероятностную модель. Правдоподобно, что какие-то НЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ характеристики простых чисел ведут себя похоже на поведение какаих-то характеристик модели.
Исследуем модель. Докажем что-то для нее. Из этого выведем гипотезы, которые нужно будет пытаться доказать для моделируемой ситуации.

[Руст]

Более подходящим, является гипотеза о распределении простых чисел, когда простые исследуется как
последовательность чисел, появляющаяся со случайным интервалом $p_{n+1}-p_n$ распределенная по Пуассону
с параметром $\ln p_n$ (гипотеза Гриши Гальперина). При этом не надо говорить дурацкие слова типа вероятность натурального числа быть простым (не определяя вероятностной меры).
Последовательности, определенные таким случайным рекурентным соотношением, являются дискретным аналогом решения стохастических дифференциальных уравнений и в целом хорошо описывают распределение простых чисел. Однако, доказательство того, что истинные простые числа ведут себя как такие последовательности, даже труднее доказательства расширенной гипотезы Римана.