Нахождение точки встречи двух точек

[Redhattler]

Дана сфера с центром в начале координат и две точки. Первая точка находится на сфере и может перемещаться только по её поверхности, вторая - снаружи сферы. Координаты точек заданы произвольно, но таким образом, чтобы удовлетворять условию задачи (расстояние от центра до первой точки будет всегда меньше расстояния от центра до второй точки). Вторая точка может перемещаться в пространстве и по поверхности сферы, не проходя через неё. Скорость первой точки - 1, второй - v.
Необходимо найти точку встречи этих двух точек при условии, что точки встретятся за кратчайшее время. Очевидно, что точка будет находиться на сфере. Привёл упрощённый вариант задачи в разделе "Механика", там же и часть моих попыток.

[ИСН]

Проведём плоскость через обе точки и центр. Ясно, что всё дальнейшее происходит в этой самой плоскости, потому что не дуры же они, точки-то. Так что задача плоская, и лишние слова можно выкинуть.

[Redhattler]

ИСН в сообщении #789969 писал(а):

Так что задача плоская, и лишние слова можно выкинуть.

Так я и сделал, приведя упрощённый вариант задачи в разделе "Механика". Что делать дальше я ума не приложу.

[VAL]

Redhattler в сообщении #790103 писал(а):

ИСН в сообщении #789969 писал(а):

Так что задача плоская, и лишние слова можно выкинуть.

Так я и сделал, приведя упрощённый вариант задачи в разделе "Механика". Что делать дальше я ума не приложу.

Дальше очевидно, что есть два случая.

Один тривиальный, когда место встречи - точка пересечения отрезка, соединяющего пространственную точку с центром сферы. Найдите, при каком соотношении $v$ и исходного местоположения точек получится именно этот случай.

Второй - содержательный. Там, можно взять некую текущую точку на сфере (разумеется, она будет на дуге, соединяющей точку на сфере с точкой встречи из тривиального случая) и приравнять времена попадания в нее для пространственной и поверхностной точек.

[Redhattler]

VAL в сообщении #790120 писал(а):

Redhattler в сообщении #790103 писал(а):

ИСН в сообщении #789969 писал(а):

Так что задача плоская, и лишние слова можно выкинуть.

Так я и сделал, приведя упрощённый вариант задачи в разделе "Механика". Что делать дальше я ума не приложу.

Второй - содержательный. Там, можно взять некую текущую точку на сфере (разумеется, она будет на дуге, соединяющей точку на сфере с точкой встречи из тривиального случая) и приравнять времена попадания в нее для пространственной и поверхностной точек.

Первый случай - легко, там очевидно что если время, за которое точка на сфере прийдёт к проекции вектора точки вне сферы на поверхность сферы меньше, чем время, за которое вторая точка прийдёт к той же точки проекции то точкой встречи и будет проекция.
Для второго случая Вы предлагаете перебрать все точки на дуге, соединяющей начальное положение точки на сфере с точкой проекции?

[VAL]

Redhattler в сообщении #790147 писал(а):

Для второго случая Вы предлагаете перебрать все точки на дуге, соединяющей начальное положение точки на сфере с точкой проекции?

Перебрать все будет несколько затруднительно, их там бесконечно много

Я предлагаю рассуждать относительно некой текущей точки на этой дуге. Для каждой из данных точек найти время, за которое она сместится в текущую точку. Для каждой точки время будет функцией от положения текущей точки. И, приравняв эти два времени, определить точку встречи.

[Redhattler]

Т.е. функции прийдётся составлять для каждого случая отдельно? Мне кажется есть одна общая формула, но я даже для двумерного случая не могу её вывести.
Мне нужно с точностью до одной миллионной, значит точек там будет конечное число.

[provincialka]

Рассмотрим сечение сферы выбранной плоскостью, получим окружность (пусть ее радиус 1). Первая точка в начале движения имеет подярную координату $\varphi_0$, вторая декартовы - $(0,a), a>1$. Первая точка двигается до точки $M$ с полярным углом $\varphi$. Вторая - по прямой до той же точки. Наискорейшая встреча получится, если обе затратят одинаковое время. Приравниваем $\frac{\cos^2\varphi+(a-\sin\varphi)^2}{V}=\varphi-\varphi_0$ или $1-2a\sin\varphi+a^2=V(\varphi-\varphi_0)$. Получаем трансцендентное уравнение, которое можно решить численно.

Решение подходит, если ответ $\varphi\ge 0$. Иначе вторая точка не сможет пройти по прямой.

[ИСН]

provincialka в сообщении #790179 писал(а):

Решение подходит, если ответ $\varphi\ge 0$.

Не нуля, а там это самое.

[provincialka]

Ну да, угла точки касания. Надо другие случаи отдельно рассматривать.

[ИСН]

А другие тривиальны. Если на этой дуге решения нет, потому что первая точка не успевает - то вторая летит по касательной, а потом по поверхности навстречу первой. Если наоборот (не успевает вторая) - то первая доезжает в ближайшую точку и там ждёт.

[Nemiroff]

Redhattler в сообщении #789923 писал(а):

Скорость первой точки - 1,

А это означает, что точка не может колебаться? А точка может ждать?

[VAL]

Nemiroff в сообщении #790289 писал(а):

Redhattler в сообщении #789923 писал(а):

Скорость первой точки - 1,

А это означает, что точка не может колебаться? А точка может ждать?

Это не важно.
Не может ждать, стоя на месте, пусть прогуляется туда-сюда, или заранее крюк сделает.

[bot]

Ну она может нарезать круги вокруг некоторой точки и ждать момента, когда можно двинуться прямо в нужную точку.

1. Точка вне сферы может достичь её за минимальное время, если она пойдет по направлению к центру. Точку пересечения назовём полюсом. Если другая точка способна достичь полюса по геодезической, за время меньшее, то пусть повиляет.
2. Другая точка не успевает. Тогда пусть она идёт по меридиану. Получаем плоскую задачу, о которой говорил ИСН

Опс, а он (и не только) уже сказал. Жалко стирать.

[Nemiroff]

bot в сообщении #790297 писал(а):

Не может ждать, стоя на месте, пусть прогуляется туда-сюда

Ну я и спрашиваю, колебаться может? Тут же какая-то практическая задача, как я понял, мало ли что.