Задача по СТО

[vvb]

HukumuH в сообщении #790100 писал(а):

Разве теорема Пифагора продолжает действовать в псевдоэвклидовом пространстве? Где-то в начале книги подчеркивалось, что ни мировая линия, ни интервал не являются в привычном понимании путем, пройденным телом. И тут бац! Строят прямоугольный треугольник.

Насколько я понимаю, это просто показывают, как вычислять расстояние между точками с заданными координатами. Тут нет треугольника, как геометрической фигуры - просто такое схематическое изображение на плоскости листа.
Вообще, мне кажется, "прямоугольного треугольника" в пространстве Минковского быть не может - если взять два отрезка разной "-подобности", то никакими вращениями мы их не совместим.

[Munin]

HukumuH в сообщении #790100 писал(а):

Разве теорема Пифагора продолжает действовать в псевдоэвклидовом пространстве?

Как раз продолжает, и как раз - в модифицированном виде! С заменой $+$ на $-.$

HukumuH в сообщении #790074 писал(а):

То есть если на то пошло, то гипотенузой должен быть $dt$.

Что является гипотенузой - надо смотреть по другому признаку. По прямому углу. Между катетами угол - прямой. Между катетом и гипотенузой - не прямой. Прямой угол - это такой, что скалярное произведение двух векторов равно нулю. Проверяем (скалярное произведение берём в псевдоевклидовом смысле, но тут это не важно):
$\overrightarrow{dx}\cdot\overrightarrow{dt}=-dx\cdot 0+0\cdot dt=0$ - перпендикулярны
$\overrightarrow{dx}\cdot\overrightarrow{d\tau}=-dx\cdot dx+0\cdot dt=-dx^2\ne 0$ - не перпендикулярны
$\overrightarrow{dt}\cdot\overrightarrow{d\tau}=-0\cdot dx+dt\cdot dt=dt^2\ne 0$ - не перпендикулярны
Отсюда видно, что на роль гипотенузы годится только отрезок $d\tau.$

А вот теорему Пифагора придётся поменять. В евклидовом пространстве теорема Пифагора устроена с плюсом:

$$(\text{гипотенуза})^2=(\text{вертикальный катет})^2+(\text{горизонтальный катет})^2.$$

А вот в псевдоевклидовом пространстве появляется взамен другая теорема Пифагора, с минусом:

$$(\text{гипотенуза})^2=(\text{вертикальный катет})^2-(\text{горизонтальный катет})^2.$$

-- 18.11.2013 23:22:57 --

vvb в сообщении #790121 писал(а):

Насколько я понимаю, это просто показывают, как вычислять расстояние между точками с заданными координатами. Тут нет треугольника, как геометрической фигуры - просто такое схематическое изображение на плоскости листа.

Ну почему же, нормальный треугольник, ничего волшебного, не надо путаницы. Мы можем нарисовать на псевдоевклидовой плоскости любую фигуру и фигуры, и проводить все полноценные геометрические вычисления, как и на обычной евклидовой плоскости.

vvb в сообщении #790121 писал(а):

Вообще, мне кажется, "прямоугольного треугольника" в пространстве Минковского быть не может - если взять два отрезка разной "-подобности", то никакими вращениями мы их не совместим.

Второе верно: превратить пространственноподобный отрезок во времениподобный нельзя. Но прямоугольные треугольники в пространстве Минковского бывают - я выше сказал, в каком смысле. Просто оказывается, что такие треугольники тоже бывают разных типов, как и отрезки. Например:
1) Бывают треугольники с п-подобным и в-подобным катетом, и п-подобной гипотенузой.
2) Бывают с в-подобной гипотенузой.
3) Бывают со с-подобной гипотенузой.
4) Бывают треугольники с двумя п-подобными катетами, и п-подобной гипотенузой.
5) Бывают даже очень необычные вырожденные треугольники с двумя с-подобными сонаправленными катетами. Гипотенуза, очевидно, тоже с-подобна.
Такие треугольники тоже нельзя превратить один в другой поворотом. Но всё это варианты вполне очевидные, стоит перебрать все варианты взаимного расположения трёх точек. Так что, разнообразие увеличивается, а сложность - нет. Все такие треугольники, например, подчиняются одной и той же теореме Пифагора. И вообще, можно проделывать любые расчёты по формулам, аналогичным формулам евклидовой геометрии.

[vvb]

Munin
Спасибо. Да, я поторопился.
Но, все-таки меня терзают смутные сомнения (с)...
Можем ли мы ввести меру угла между отрезками разной "подобности"?
$\ch {\phi} = \frac {ab}{|a||b|}$
Для одной "подобности" вроде бы проблем нет, но вот для $a=(1,0), b=$(0,1) $ab = 0, \ch {\phi} = 0$, т.е. такого угла, получается, вообще нет.

[artur_k]

vvb в сообщении #790656 писал(а):

Для одной "подобности" вроде бы проблем нет, но вот для $a=(1,0), b=$(0,1) $ab = 0, \ch {\phi} = 0$, т.е. такого угла, получается, вообще нет.

Или угол мнимый через соотношение $\ch {i\varphi} = \cos {\varphi}$

[vvb]

artur_k в сообщении #790697 писал(а):

Или угол мнимый через соотношение $\ch {i\varphi} = \cos {\varphi}$

Блин, я же считал уже это и именно $i \pi/2$ у меня получалось )))

А если я поверну на этот мнимый угол один из отрезков, я же не совмещу их?
$t'=t \ch \phi + x \sh \phi = 1 \ch {(i \pi /2)} + 0 \sh \ {(i \pi /2)} = 0$
$x' = t \sh \phi + x \ch \phi = 1 \sh {(i \pi /2)} + 0 \ch \ {(i \pi /2)} = i \sin {\pi / 2} = i$
Надеюсь, ничего не напутал

[artur_k]

vvb в сообщении #790703 писал(а):

А если я поверну на этот мнимый угол один из отрезков, я же не совмещу их?
$t'=t \ch \phi + x \sh \phi = 1 \ch {(i \pi /2)} + 0 \sh \ {(i \pi /2)} = 0$
$x' = t \sh \phi + x \ch \phi = 1 \sh {(i \pi /2)} + 0 \ch \ {(i \pi /2)} = i \sin {\pi / 2} = i$
Надеюсь, ничего не напутал

Только надо использовать координаты Минковского $x_0 = i ct, x_1 = x$. Тогда получится $a = (i,0), b = (0,1)$. И умножая $a$ на матрицу поворота, получим $a' = (x_0', x_1') = (0,-1)$. Т.е. мы повернули не в ту сторону. Что бы повернуть $a$ в $b$ надо поворачивать на угол $-i \pi/2$.

[vvb]

artur_k в сообщении #790726 писал(а):

Только надо использовать координаты Минковского $x_0 = i ct, x_1 = x$. Тогда получится $a = (i,0), b = (0,1)$. И умножая $a$ на матрицу поворота, получим $a' = (x_0', x_1') = (0,-1)$. Т.е. мы повернули не в ту сторону. Что бы повернуть $a$ в $b$ надо поворачивать на угол $-i \pi/2$.

Понял, спасибо.
Т.е., если мы не берем в качестве нулевой компоненты мнимую величину, у нас не получается нормальных углов и поворотов? Это никак на СТО не влияет?

[Munin]

Вообще-то они и так "не нормальные". "Нормальные" они только между векторами одинаковой "подобности".

[HukumuH]

Прочтя рекомендуемую книгу, не скажу, что СТО стала кристально ясной, но кое-что прояснилось. В этой книге не нравится мне выражение времени в "метрах светового времени", а энергии в "килограммах". Например формула энергии записывается в виде:
$E^2=m^2+p^2$
Это приводит к путанице с единицами измерения. Стоит ли запоминать такой подход?

[DimaM]

HukumuH в сообщении #790973 писал(а):

Это приводит к путанице с единицами измерения. Стоит ли запоминать такой подход?

Соглашение $c=1$ широко используется в физике. Например, массу частиц всегда выражают в электрон-вольтах и никогда в килограммах.

[warlock66613]

HukumuH в сообщении #790973 писал(а):

Это приводит к путанице с единицами измерения.

А в чём, собственно, путаница? Наоборот, всё упрощается.

[HukumuH]

DimaM в сообщении #790985 писал(а):

HukumuH в сообщении #790973 писал(а):

Это приводит к путанице с единицами измерения. Стоит ли запоминать такой подход?

Соглашение $c=1$ широко используется в физике. Например, массу частиц всегда выражают в электрон-вольтах и никогда в килограммах.

В таком случае нужно дописывать единицы измерения скорости в соответствующих степенях, так как сокращая $c=1$, автоматически улетучиваются единицы измерения.

warlock66613 в сообщении #790989 писал(а):

HukumuH в сообщении #790973 писал(а):

Это приводит к путанице с единицами измерения.

А в чём, собственно, путаница? Наоборот, всё упрощается.

В том, что нужно помнить, что напр. $E=E/c^2$. То есть нужно применять хотя бы другой символ или другое название.

[DimaM]

HukumuH в сообщении #790999 писал(а):

В таком случае нужно дописывать единицы измерения скорости в соответствующих степенях, так как сокращая $c=1$, автоматически улетучиваются единицы измерения.

Ну да, для школьника может трудно оказаться. Но уже первокурсник может разобраться.

[vvb]

artur_k
Munin
Понял, спасибо.

[warlock66613]

HukumuH в сообщении #790999 писал(а):

В таком случае нужно дописывать единицы измерения скорости в соответствующих степенях

Как раз не нужно, в этом вся суть. В данной системе единиц скорость - безразмерна, так как расстояние и время измеряются в единицах одинаковой размерности.

HukumuH в сообщении #790999 писал(а):

В том, что нужно помнить, что напр. $E=E/c^2$

Поскольку $c=1$, то получаем просто $E=E$ - другой символ и название не нужны.

Приведу пример аналогичного упрощения в другой ситуации. В СИ ёмкость измеряется в фарадах, а формула для ёмкости уединённого шара выглядит весьма громоздко. В СГС же одна из размерных констант СИ ($\varepsilon_0$) принимается за безразмерную ($\varepsilon_0 = (4\pi)^{-1}$). В результате оказывается, что ёмкость измеряется в сантиметрах! На первый взгляд это может показаться бредом: какое отношение ёмкость конденсатора имеет к длине/расстоянию, в общем геометрическому размеру? Но оказыается, что формула для ёмкости уединённого шара упрощается до легко запоминаемой $C=R$, где $R$ - радиус шара. Получается, что ёмкость величиной в $2$ сантиметра - это просто ёмкость, равная ёмкости шара радиусом $2$ сантиметра, т. е. сантиметры как единицы измерения ёмкости обретают смысл. И в СТО аналогичная ситуация: принимая скорость света за единицу, и измеряя тем самым расстояние в (световых) годах или секундах, мы получаем упрощение формул, и возможность увидеть интересные соотношения, которые в более привычной системе размерностей были скрыты грузом отвлекающих коэффициентов.