Простые числа и уравнение

[DjD USB]

1) Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).
2) Решить в натуральных числах:

$$7^x-4^y=3$$

[nnosipov]

2) Этот сюжет неоднократно обсуждался.
1) Кажется, тоже обсуждалось. Задача относительно свежая (финальный этап последней Всероссийской олимпиады, 10 класс) и, по-моему, не очень сложная.

[Руст]

Первая задача намного посложнение, трудно дать решение пригодное для школьников.
Вторая тривиальная. у=1 дает решение х=1ю При у больше 1. Одно число $7^x=\pm 1\mod 8\not =3 \mod 4^y,y>1$.

[nnosipov]

Руст в сообщении #787896 писал(а):

Вторая тривиальная.

Точно. А мне показалось, что речь идёт про уравнение $7^x-3^y=4$, оно поинтереснее будет.

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #787900 писал(а):

Руст в сообщении #787896 писал(а):

Вторая тривиальная.

Точно. А мне показалось, что речь идёт про уравнение $7^x-3^y=4$, оно поинтереснее будет.

Да, я тоже думал что вы про пелля

-- Вт ноя 12, 2013 18:59:39 --

Руст в сообщении #787896 писал(а):

Первая задача намного посложнение, трудно дать решение пригодное для школьников .

А что именно там не школьное?

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #787960 писал(а):

Да, я тоже думал что вы про пелля

Ну, к Пеллю не обязательно сводить, иногда можно обойтись и сравнениями. Впрочем, для уравнения $7^x-3^y=4$ оба способа срабатывают.

[Руст]

DjD USB в сообщении #787960 писал(а):

Руст в сообщении #787896 писал(а):

Первая задача намного посложнение, трудно дать решение пригодное для школьников .

А что именно там не школьное?

Задача $p_1*....p_k=n^y+1$ как в теореме Ферма сводится к случаю, когда у простое, например взяв наименьший простой делитель р представляем $n^y=m^p, m=(n)^{y/p}$.
Случай р=2 решается просто, а случай нечетного простого для моего решения сложно, я не знаю как решать школьными методами.

[Shadow]

Руст в сообщении #788022 писал(а):

Задача $p_1*....p_k=n^y+1$ как в теореме Ферма сводится к случаю, когда у простое

И т.к. $n>p_k, y<p_k \Rightarrow y \in (2,3,\cdots p_k)$

$n \equiv -1 \pmod y$

$(ty-1)^y +1 \equiv 0 \pmod{y^2}$

[Руст]

Я упускал из виду последнюю строчку.
Для оценки в случае нечетного простого у брал $Q=\prod_{y \not |p_i-1}p_i, P=\prod_i p_i$, $n=mQ-1, n^y>P$ (хотя бы начиная с некоторого).
Этот метод совсем не школьный.