Доказать комбинаторные тождества (Виленкин, VIII.34)

[some_rnd_name]

В книжке Виленкина по комбинаторике (издание 2013 года) есть задача (VIII.34) на доказательство комбинаторных тождеств: из тождеств $(1-x)^{2k}\left(1+\frac{2x}{(1-x)^2}\right)^k = (1+x^2)^k$ для $k=p$ и $k=-p$ доказать тождества:

$$ \sum\limits_s(-1)^sC_{p+s-1}^{s} C_{2m+2p+s}^{2m+1-s}2^s=0 $$

$$ \sum\limits_s(-1)^sC_{p+s-1}^{s} C_{2m+2p+s-1}^{2m-s}2^s=(-1)^mC_{p+m-1}^{m} $$

$$ \sum\limits_s(-1)^sC_{p}^{s} C_{2m-2s}^{2m+1-s}2^s=0 $$

$$ \sum\limits_s(-1)^sC_{p}^{s} C_{2p-2s}^{2m-s}2^s=C_{p}^{m} $$

и я не понимаю, как это делать. Стандартный способ решения таких задач (собственно это подсказка в самом Виленкине) - перемножить скобки и сравнить степени. Если взять $k=p$, то получаем что-то вроде

$$ (1-x)^{2p}(1+2x+4x^2+\dots)^p=(1+x^2)^p $$

и после перемножения (берём $s$ из второй скобки и остальное из первой) и сравнения нечётных и чётных степеней получаем тождества:

$$ \sum\limits_s(-1)^sC_{p+s-1}^{s}C_{2p}^{2m+1-s}2^s=0 $$

$$ \sum\limits_s(-1)^sC_{p+s-1}^{s}C_{2p}^{2m-s}2^s=C_p^m $$

то есть куски чего-то нужного вроде бы есть, но как от этого перейти к требуемым тождествам - непонятно. Основные вопросы вызывает второй биномиальный коэффициент, в котором $s$ оказывается сверху и снизу, неясно откуда он берётся. В разобранных примерах в том же Виленкине такого нет. Если использовать $k=-p$, то получим:

$$ (1+x+x^2+x^3+\dots)^{2p}(1-2x+2x^3-2x^5+\dots)^p=(1-x^2+x^4-x^6+\dots)^p $$

И здесь нужно искать количество разложений числа на сумму $p$ и менее нечётных слагаемых (потому что из-за $1$ во второй скобке слагаемые могут быть нулевыми). Тоже неясно, что с этим делать. Вот где-то здесь я и остановился.

[Утундрий]

Что за книжка?

[some_rnd_name]

Виленкин Н.Я "Комбинаторика", 4-е издание. Задачка есть и в старом Виленкине (1969 года, по-моему), но там другой номер (430).

[schiavoni]

мне кажется, в первом тождестве у тебя ошибка в том, что ты расписал вторую скобку в ряд, и один ряд принял за другой. Это не ряд (1 + (2x) + (2x)^2...)^p (тогда получается именно то выражение, которое ты написал), а несколько другой. Распиши следующие члены ряда, тогда все поймешь.

[provincialka]

(Оффтоп)

schiavoni, здесь не принято обращаться на "ты"