Квантовая механика...

[warlock66613]

artfin, это меня сглючило. Точечки все на месте. Но $\dot{q}$ надо выразить через $p$. Гамильтониан - это функция координат и импульсов, никаких производных.

[artfin]

То-есть,
$ H = \frac{p^2}{m} - \frac{p^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$ ?

[warlock66613]

artfin, да.

[artfin]

Отлично, ситуация проясняется=)
Теперь подставляем оператор импульса: $ \textbf{p} = - i \hbar \frac{\partial }{\partial x}$
$ \textbf{H} = - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}$

[warlock66613]

artfin, правильно. Теперь подставляйте в уравнение эволюции волновой функции $i\hbar \frac {\partial \psi} {\partial t}= H\psi$

[artfin]

Получаем уравнение Шредингера, эт понятно.
$ E \Psi = \textbf{H} \Psi $

ура, я разобрался с этим утверждением:

Цитата:

Если в уравнение Шрёдингера гамильтониан $H(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) = H_1(\mathbf{r}_1, t) + H_2(\mathbf{r}_2, t)$ (две независимых части, взамодействия нет), то несложно отсюда вывести, что решение как раз будет произведением указанного вида (уравнение разделяется) или их линейной комбинацией.

Спасибо большое!

Можно Вас спросить, что понимается под знаком волновой функции при рисовании атомных орбиталей?

[warlock66613]

artfin в сообщении #785350 писал(а):

Можно Вас спросить, что понимается под знаком волновой функции при рисовании атомных орбиталей?

Хотя в общем случае волновая функция комплексная, но в некоторых случаях (в том числе в кулоновском поле) она вещественна (точнее может быть сделана таковой домножением на подходящий фазовый множитель $e^{i\alpha}$, ведь такое умножние ни какие измеримые величины не влияет). Соотвственно у неё есть знак - плюс или минус, как у всякого вещественного числа.

-- 05.11.2013, 23:17 --

И по той же причине не важно где именно плюс, а где минус - при домножении на $e^{i\pi}=-1$ знаки меняются. Смысл имеет только тот факт, что у "гантели" (для примера) половинки имеют разные знаки, а где именно плюс, а где минус - не важно.

[artfin]

Сейчас...все-таки не понял.

Цитата:

Если в уравнение Шрёдингера гамильтониан $H(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) = H_1(\mathbf{r}_1, t) + H_2(\mathbf{r}_2, t)$ (две независимых части, взамодействия нет), то несложно отсюда вывести, что решение как раз будет произведением указанного вида (уравнение разделяется) или их линейной комбинацией.

$ H(r_1, r_2, t) = \sum_i {p_i \ \dot{q_i}} - \mathcal{L}(q_1, q_2, \dot{q_1}, \dot{q_2}, t) = (p_1 \dot{q_1} - \mathcal{L}(q_1, \dot{q_1}, t)) + (p_2 \dot{q_2} - \mathcal{L}(q_2, \dot{q_2}, t)) = H(r_1, t) + H(r_2, t) $
При переходе к оператору Гамильтона, оператор лагранжа все равно можно будет разделить на две части, поэтому:
$ \textbf{H} \Psi(r_1, r_2, t) = \textbf{H}\Psi(r_1, t) + \textbf{H}\Psi(r_2, t)$
Соответственно, получаем - $ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(r_1, r_2, t) = \textbf{H}\Psi(r_1, t) + \textbf{H}\Psi(r_2, t) $. Ну и понятно, что $ \Psi(r_1, r_2, t) = C_1 \cdot \Psi(r_1, t) + C_2 \cdot \Psi(r_2, t)$ - представимо в виде линейной комбинации.
Но если $ \Psi(r_1, r_2, t) = \Psi(r_1, t) \cdot \Psi(r_2, t)$, то:
$ \frac{\partial }{\partial t}\Psi(r_1, r_2, t) = \Psi(r_2, t) \cdot \frac{\partial \Psi(r_1, t}{\partial t} + \Psi(r_1, t) \cdot \frac{\partial \Psi(r_2, t)}{\partial t}$
Тогда: $ \textbf{E} \Psi(r_1, r_2, t) = \Psi(r_2, t) \cdot \textbf{H}\Psi(r_1, t) + \Psi(r_1, t) \cdot \textbf{H}\Psi(r_2, t)$
И непонятно, что дальше с этим делать...

Цитата:

Хотя в общем случае волновая функция комплексная, но в некоторых случаях (в том числе в кулоновском поле) она вещественна (точнее может быть сделана таковой домножением на подходящий фазовый множитель $e^{i\alpha}$, ведь такое умножние ни какие измеримые величины не влияет). Соотвственно у неё есть знак - плюс или минус, как у всякого вещественного числа.

Может быть это прозвучит жутко глупо, но если можно взять множитель $e^{i\alpha}$, разве нельзя взять множитель $ - e^{i\alpha}$ и тогда знак будет ровно противоположный, разве нет?
И как находятся соответсвующие фазовые множители?

[warlock66613]

artfin в сообщении #785387 писал(а):

Сейчас...все-таки не понял.

К сожалению я не математик. Решить могу, а вот доказать, что других нет - не могу.

[Утундрий]

artfin в сообщении #785387 писал(а):

непонятно, что дальше с этим делать...

Обычно применяют следующий фокус: если $f(x_1 ) = g(x_2 )$, то $f = g = const$.

[artfin]

Цитата:

Обычно применяют следующий фокус: если $f(x_1 ) = g(x_2 )$, то $f = g = const$.

Утундрий, объясните, пожалуйста, что за фокус...не понимаю.

[Ms-dos4]

artfin
Давайте на примере. Мне тут матфизика сразу мерещится. Вот например при решении волнового уравнения методом Фурье (когда функцию ищут в виде произведения двух функций от одной переменной $\[u(x,y) = X(x)T(t)\]$) возникает уравнение $\[{a^2}\frac{{X''(x)}}{{X(x)}} = \frac{{T''(t)}}{{T(t)}}\]$. Заметьте, слева стоит функция только от x, а справа функция только от t. Такое может быть лишь если они обе равны какой то константе $\[{a^2}\frac{{X''(x)}}{{X(x)}} = \frac{{T''(t)}}{{T(t)}} = - {\lambda ^2}\]$

[Утундрий]

Пусть $i\partial _t \Psi = \left( {\hat H_1 + \hat H_2 } \right)\Psi $ и $\hat H_i $ действует только на переменную ${\mathbf{r}}_i $. Ищем решения вида $\Psi = \psi _1 \left( {{\mathbf{r}}_1 ,t} \right)\psi _2 \left( {{\mathbf{r}}_2 ,t} \right)$. Получаем $i\left( {\partial _t \psi _1 } \right)\psi _2 + i\psi _1 \partial _t \psi _2 = \left( {\hat H_1 \psi _1 } \right)\psi _2 + \psi _1 \hat H_2 \psi _2 $ или

$$\frac{{i\partial _t \psi _1 - \hat H_1 \psi _1 }}{{\psi _1 }} = - \frac{{i\partial _t \psi _2 - \hat H_2 \psi _2 }}{{\psi _2 }}$$

Слева стоит функция $\left( {{\mathbf{r}}_1 ,t} \right)$, справа - функция $\left( {{\mathbf{r}}_2 ,t} \right)$, следовательно

$$\frac{{i\partial _t \psi _1 - \hat H_1 \psi _1 }}{{\psi _1 }} = - \frac{{i\partial _t \psi _2 - \hat H_2 \psi _2 }}{{\psi _2 }} = \dot \theta \left( t \right)$$

или

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {i\partial _t \psi _1 = \hat H_1 \psi _1 + \dot \theta \psi _1 } \\ {i\partial _t \psi _2 = \hat H_2 \psi _2 - \dot \theta \psi _2 } \\ \end{array} } \right.$$

Далее, полагая $\psi _1 \equiv \varphi _1 e^{ - i\theta } ,\psi _2 \equiv \varphi _2 e^{i\theta } $, получим

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {i\partial _t \varphi _1 = \hat H_1 \varphi _1 } \\ {i\partial _t \varphi _2 = \hat H_2 \varphi _2 } \\ \end{array} } \right.$$

причём $\Psi = \psi _1 \psi _2 = \varphi _1 \varphi _2 $.