Доказать ограниченность оператора, действующего из L в C

[netivise]

Здравствуйте. Дан оператор $A: L_{1[0,1]} \to C_{[0,1]}$
Помогите доказать ограниченность оператора и найти его норму. Оператор в данном случае не указывается, интересует только случай, если даны разные пространства.
Знаю следующую формулу:
$||At|| \leqslant M ||x||$, где M - минимальное из всех чисел, являющийся также нормой оператора.
Знаю, что в C пространстве норма расписывается, как максимум по отрезку от функции. Знаю, что в L ищется интеграл. Если бы оператор был определён для двух одинаковых пространств, я бы сумел решить задачу. А так я не знаю. Подскажите пожалуйста алгоритм решения. Спасибо

[Otta]

Дан дом. Доказать, что он многоэтажный и найти число этажей. Дом не указывается, известно только, что он в другом городе.

netivise в сообщении #781871 писал(а):

Если бы оператор был определён для двух одинаковых пространств, я бы сумел решить задачу.

Как?

[mihailm]

Otta в сообщении #781902 писал(а):

Дан дом. Доказать, что он многоэтажный и найти число этажей. Дом не указывается, известно только, что он в другом городе.

netivise в сообщении #781871 писал(а):

Если бы оператор был определён для двух одинаковых пространств, я бы сумел решить задачу.

Как?

Да-да, netivise, решите пожалуйста эту задачу если оператор из пространства непрерывных функций в него само (норму вы упомянули)

[netivise]

mihailm, находим норму нашего оператора, как максимум по аргументу t по модулю от оператора. Выделяем число $M $и норму $||x||$.

[provincialka]

А вот эти буквочки $x$ и $t$ - это что? Куда принадлежат? Как связаны между собой?

[mihailm]

netivise в сообщении #781937 писал(а):

mihailm, находим норму нашего оператора, как максимум по аргументу t по модулю от оператора. Выделяем число $M $и норму $||x||$.

А если без $t$?
Оператор: $f(x)$ в $f(1-x)$

[netivise]

provincialka, x - функция, t - параметр. Сейчас вы спросите "а x и t как связаны?". Ммм, хороший вопрос. x зависит от t, t подставляем в x, x может быть любой функцией. Функция задаёт одному числу в соответствие другое число. Число может быть простым, а может быть равно 0 или 1, это зависит от задачи. Как далеко в угол вы можете загнать человека своими вопросами, чтобы он в итоге вообще ни хера не понял?

[provincialka]

Ничего я не загоняю, сама хочу понять. Я знаю, что такое $C_{[0,1]}$ и какая в нем норма: это пространство непрерывных функций, норма - равномерная. А вот что такое $L_{1[0,1]}$ - не помню. Что является его элементами?
Я думала, что это пространство интегрируемых по Лебегу функций, но тогда при чем тут параметры?

-- 29.10.2013, 22:49 --

netivise в сообщении #781871 писал(а):

где M - минимальное из всех чисел, являющийся также нормой оператора.

Что сие значит? Среди каких чисел ищется минимальное?

Я (может, по наивности) поняла задачу так. Пусть $t\in L_1([0;1])$ - некая функция. (она интегрируема по Лебегу. А что является нормой? $\int\limits_0^1|t(u)|du$?)/
Оператор $A$ переводит эту функцию в непрерывную функцию $x=At$. Тогда откуда берется $M$? Ничего не понятно.

[netivise]

Извините за грубость. Я сам ничего понять не могу.

[provincialka]

Ну, честно говоря, я несколько лукавлю. Кое-что я, конечно, понимаю. А вы не можете посмотреть там, откуда задача, какой смысл вкладывается в понятия? В частности, эти обозначения $t$, $x$ - ваши или из задачи?

Общее определение нормы оператора таково: это $\sup\frac{||At||}{||t||}, ||t||\ne 0$. Или можно так: $\sup||At||$, где $||t||=1$. Собственно, ничто не мешает находить каждую норму в своем пространстве. Надо только знать, каков оператор $A$, без этого можно только выписать определение.

[Deggial]

netivise в сообщении #781967 писал(а):

ни хера

netivise, предупреждение за обсценную лексику.

[Otta]

netivise
Вы хотите странного. Невозможно доказать ограниченность оператора, не зная, что это за оператор: он может оказаться неограниченным. По этой же причине невозможно посчитать его норму.
Если известно, что оператор ограниченный, то тогда имеет смысл норму искать, но обычно это не известно, а требуется доказать/опровергнуть. Как? По определению. И только убедившись в ограниченности, приступать к вычислению нормы. В общем случае это никто не делает, ибо ничего, кроме определений, Вам выписать не удастся. А они у Вас и так есть. Должны быть.

[provincialka]

Честно говоря, с трудом представляю оператор, ограниченный в этом смысле. Тождественное преобразование уж точно не ограничено. Может, интеграл с переменным верхним пределом?

[Otta]

provincialka в сообщении #782053 писал(а):

Может, интеграл с переменным верхним пределом?

Например.
Сперва надо, чтобы оператор $A:\,X\to Y$ был определен на всем пространстве $X$. И придумать естественный такой оператор в нашем случае - та еще задача). В частности, "тождественный" этим свойством не обладает.

[мат-ламер]

Otta в сообщении #782070 писал(а):

Сперва надо, чтобы оператор $A:\,X\to Y$ был определен на всем пространстве $X$. И придумать естественный такой оператор в нашем случае - та еще задача). В частности, "тождественный" этим свойством не обладает.

Ну, можно какой-то функции из первого пространства поставить в соответствие постоянную функцию из второго пространства. Значение этой функции можно взять равным существенному верхнему супремуму функции из первого пространства. Тогда оператор будет неограничен и задан на всём пространстве. Что говорит о том, что утверждение из первого поста не является верным для всех операторов. Тогда непонятно, что хочет доказывать топик-стартер.