От алгебры к сигма алгебре

[devgen]

Otta
Нет.

Алгебра, значит замкнута относительно операций объединения и дополнения. Я подумал, что всё окей тогда, ведь всякое непустое (а пустое мы сразу положили) открытое множество на прямой это сумма счётного числа замкнутых множеств, а замкнутые также получаются $+$ используем операцию дополнением, ну и вот ведь это мы и делаем как раз, значит все такие и получили. Изолированные точки тоже понятно как получать, ну а значит и с полуинтервалами проблем нет.

Но потом я понял, что у меня итоговое множество множество же сложнее и я не очень понимаю, там ведь будут подмножества которые и не открыты и не замкнуты.

(Оффтоп)

все учат тервер как приложение действительного анализа, а у меня видимо наоборот всё

[--mS--]

Откровенно говоря, Вы не одиноки. Не могу понять, чем принципиально отличается описанная процедура от вот этой: http://en.wikipedia.org/wiki/Borel_set. Подозреваю, что всё дело в воздушных пузырьках я чего-то в корне не понимаю, и буду очень признательна, если кто-нибудь объяснит, например, чем отличается $\bigcup\limits_1^\infty$ от $\bigcup\limits_{i<\omega_1}$.

[g______d]

По-моему, мы как раз с Вами это обсуждали уже :) Если неформально, то если мы рассмотрим счетные объединения счетных пересечений и попытаемся раскрыть скобки, чтобы превратить это в счетное пересечение счетных объединений, то у нас не получится: пересечений станет континуальное число.

Строгое доказательство, что на следующих уровнях иерархии всегда появляются новые множества, есть здесь:

http://www.mccme.ru/free-books/kanovej/set_theory.pdf

теорема 2.2.5 и дальше (прямая является польским пространством, это доказано до этого). Кроме того, там же указано, что соответствующее утверждение называется теоремой об иерархии было доказано Лебегом.

[--mS--]

g______d в сообщении #786235 писал(а):

По-моему, мы как раз с Вами это обсуждали уже :) Если неформально, то если мы рассмотрим счетные объединения счетных пересечений и попытаемся раскрыть скобки, чтобы превратить это в счетное пересечение счетных объединений, то у нас не получится: пересечений станет континуальное число.

Откровенно говоря, не вижу никакой связи.

g______d в сообщении #786235 писал(а):

Строгое доказательство, что на следующих уровнях иерархии всегда появляются новые множества, есть здесь:

Спасибо. Этому факту верится и без особого доказательства, но с доказательством лучше. Однако это никак не отвечает на мой вопрос.

[g______d]

--mS-- в сообщении #786233 писал(а):

если кто-нибудь объяснит, например, чем отличается $\bigcup\limits_1^\infty$ от $\bigcup\limits_{i<\omega_1}$.

Ну неформально я это понимаю так: если мы возьмем по одному элементу $F_i\in \mathfrak F_i$, $i\in\mathbb N$, то $\cup_{i\in \mathbb N} F_i$ не обязано лежать в $\cup_{n\in \mathbb N}\mathfrak F_i$ (поскольку в последнем разрешается брать счетные объединения только последовательностей элементов, множество индексов которых ограничено), но оно будет лежать в $\mathfrak F_{\omega+1}$.

[--mS--]

Ну да: как я и полагала, мне стоит заново изучить ординалы
Спасибо!

[Otta]

devgen
Надо было просто по определению, и все получилось бы.
А при попытке положить счетное объединение все упирается в

g______d в сообщении #786250 писал(а):

если мы возьмем по одному элементу $F_i\in \mathfrak F_i$, $i\in\mathbb N$, то $\cup_{i\in \mathbb N} F_i$ не обязано лежать в $\cup_{i\in \mathbb N}\mathfrak F_i$

что хорошо видно, если в качестве $F_i$ брались элементы из $\mathfrak F_i\setminus \mathfrak F_{i-1}$. Единственным тяжелым местом при таком способе решения осталось бы показать, что на каждом шаге добавляются новые элементы, но g______d любезно предоставил ссылку. :)

g______d, спасибо. Все искала, как это делается специалистами в теме. Бо мое доказательство - от сохи, как говорится.