твердое тело, идеальная связь

[Oleg Zubelevich]

Твердое тело с известным распределением масс стеснено идеальной связью $\overline v_A=a\overline \omega,\quad a=const$, где $A$ -- заданная точка твердого тела. Написать уравнения движения.

(Оффтоп)

Найти какие-нибудь (желательно нетривиальные) случаи интегрируемости этой задачи

-- Вт окт 22, 2013 19:18:46 --

как-то всегда не понимаю в какой раздел помещать такие темы

[scwec]

В условии ничего не сказано о поле сил, в котором движется тело. Имеется в виду тяжелое тело?
Кстати, при $a=0$ имеем закрепленную точку и уже тут нетривиальности хватает.

[Oleg Zubelevich]

активных сил нет

-- Ср окт 23, 2013 10:53:45 --

там опять получается система уравнений на вектор угловой скорости и интеграл энергии конечно имеется. поэтому может и не надо искать случаи интегрируемости, двумерная динамическая система на уровне интеграла энергии это , я думаю, вещь которая вполне поддастся анализу. Что там собственно может быть кроме, грубо говоря, предельных циклов и положений равновесия? Бифуркации интересно было бы посмотреть.
Я думаю, что написать уравнения движения это олимпиадная задача, а остальное это курсова-дипломная.

[scwec]

Искомые уравнения выглядят так:
поскольку мгновенная ось вращения все время проходит через точку A, активные силы отсутствуют, а сила реакции связи приложена к точке A, то первые три уравнения в осях, жестко связанных с телом - это в точности уравнения Эйлера для компонент угловой скорости в случае Эйлера-Пуансо
$J\dot \omega+\omega\times{J\omega}=0$.
Еще три уравнения описывают движение точки А в неподвижных осях и в силу уравнений связи $\ddot r_A=aJ^{-1}(J\omega\times\omega)$
Первые три уравнения известным образом интегрируются в квадратурах, а за ними интегрируются и следующие три.
Нужно, конечно, было написать выражение компонент угловой скорости через углы Эйлера, поскольку основные переменные здесь вектор $r_A$ и три угла Эйлера или какие-то другие три параметра, эквивалентные им, если уж речь идет об уравнениях движения.
Приведенные уравнения справедливы все же в частном случае, когда точка А есть центр масс тела. В общем случае уравнения должны быть более сложными.

[Oleg Zubelevich]

Будем исходить из общего уравнения динамики

$$(\dot{\overline K}_S,\overline\Omega)+m(\dot{\overline v}_S,\overline V)=0,$
$S$ -- центр масс тела, $\overline\Omega,\overline V$ -- угловая скорость и скорость центра масс при виртуальных движениях тела допустимых связью: $\overline V=a\overline\Omega+[\overline\Omega,\overline{AS}]$
Откуда

$$\dot{\overline{K}}_S+am\dot{\overline v}_S+m[\overline{AS},\dot{\overline v}_S]=0$$

С учетом формул

$$\dot{\overline v}_S=a\dot{\overline \omega}+[\dot{\overline \omega},\overline{AS}]+[\overline\omega,[\overline\omega,\overline{AS}]],\quad \overline K_S=m[\overline{AS},\dot{\overline{SA}}]+\overline K_A$$

Замечание: кинетические моменты $\overline K_A,\overline K_S$ вычисляются относительно осей с началом в соответствующей точке и движущихся поступательно. (see also topic71963.html)

получим

$$(J_A+a^2m\cdot\mathrm{id})\dot{\overline \omega}+[\overline\omega,J_A\overline\omega]+am[\overline\omega,[\overline\omega,\overline{AS}]]=0$$

Эти уравнения естественно расписываются по главным осям оператора инерции в точке A

[scwec]

Четкое и исчерпывающее решение.

[Oleg Zubelevich]

Очевидно, система имеет первый интеграл $T=(\overline\omega,J_A\overline\omega)/2$.

Рассмотрим частный случай когда $J_A=B\cdot\mathrm{id},\quad B=const>0$

Система приобретает вид

$$\dot{\overline\omega}=-\frac{am}{B+a^2m}\Big(\overline\omega(\overline\omega,\overline{AS})-\frac{2h}{B}\overline{AS}\Big),\quad T=h\qquad (*)$$

Дальше будем считать, что точкой обозначена производная от омега в системе координат жестко связанной с твердым телом. $|AS|\ne 0$

На каждом уровне энергии $\{T=h\},\quad h>0$ система имеет два и только два положения равновесия $\pm\overline\omega_h=\pm\lambda\overline{AS}$

Введем функцию $u(t)=(\overline\omega,\overline{AS})$. легко видеть, что

$$\dot u=-\frac{am}{B+a^2m}\Big(u^2-\frac{2h}{B}|AS|^2\Big)$$

Отсюда видно, что на сфере $\{T=h\}$ решения c одного положения равновесия решения сматываются, а на другое, диаметрально противоположенное, наматываются. Т.е. там надо ожидать или фокус или узел

Из этого, в частности вытекает, что других аналитических первых интегралов кроме $T$ в данной системе нет.

Наверное это должно приводить в экстаз физика: энергия сохраняется, система автономна и... асимптотические положения равновесия!

-- Вс окт 27, 2013 11:07:38 --

интересно, а что это за тело такое у которого тензор инерции шаровой в точке не совпадающей с центром масс