Риманова поверхность, аналитическое продолжение и другое

[hjury]

Цитата:

Когда вы подходите к нижнему берегу, то значение функции совпадает с таковым на верхнем берегу другого листа -- эти берега и склеиваем. А если на том же листе подойти к верхнему берегу, то значение совпадет с таковым на нижнем берегу еще какого-то листа, склеиваем и их.

Это только для корней правило работает?
Попозже я скину свой "рисунок" этой поверхности

[ex-math]

Почему только для корней?
Ведь что такое склейка -- это просто явное указание на то с какого листа на какой мы попадаем при обходе некоторой точки. Функция меняется непрерывно, значит, значения ее на склеиваемых берегах должны совпадать.

[hjury]

Склейка для точки $-1$ так?

[ex-math]

Жуть какая
Это я про рисунок
Нет, не так. Обходя вокруг $-1$ вы не можете сменить маленькие и большие буквы, а только цифры. Поэтому пачки с разными буквами независимы друг от друга (они будут склеиваться в нуле и единице). Склейка первых трех листов правильная. Дальше аналогично.

[hjury]

Цитата:

Нет, не так. Обходя вокруг $-1$ вы не можете сменить маленькие и большие буквы, а только цифры. Поэтому пачки с разными буквами независимы друг от друга (они будут склеиваться в нуле и единице). Склейка первых трех листов правильная. Дальше аналогично.

Ага, осознал свою ошибку. А ведь разреры по нулю можно сделать, как разрез от нуля до плюс скажем так бесконечности, только вертикально, да?

[ex-math]

Пожалуй, да. Тогда задача немного упрощается.

[hjury]

Цитата:

Пожалуй, да. Тогда задача немного упрощается.

Просто если сделать этот разрез на всех плоскостях, где нуль точка ветвления, как определить какой берег к какому склеивать, я все таки не до конца понимаю.

[ex-math]

Там должны склеиваться листы 1aA, 1aB, 1aC и еще две такие независимые пачки.

[hjury]

ex-math в сообщении #786029 писал(а):

Там должны склеиваться листы 1aA, 1aB, 1aC и еще две такие независимые пачки.

Да разобрался вроде, правда, когда стал рисовать, вся эта структура очень запутанная оказалась, впрочем я думаю пока с этим хватит. Есть еще один тип заданий вызывающий у меня затруднения - это аналитическое продолжение вдоль кривой.
Предположим, надо продолжить следующее выражение $(\ln({1+\sqrt{z}}))^{\frac{1}{3}}$ с условием $(\ln({1+\sqrt{z}}))^{\frac{1}{3}}|_{z=4}=(\ln(3))^{\frac{1}{3}}$ вдоль кривой

При обходе точки единица, мы имеем точку ветвления логарифма и корня, так? Тогда соответственно сам логарифм получает приращение $2\pi i$ а значение корня увеличивается на $\exp{\frac{2\pi i}{3}}$, я ошибаюсь?

[ex-math]

Давайте попробуем разбить на этапы.
Рассмотрим образ этой кривой при отображении $1+\sqrt z$. Получим нечто, начинающееся в $3$ и заканчивающееся в $-1$, при этом не обходящее нуль, а обходящее точку $2$. Так?
Теперь посмотрим во что она перейдет под действием логарифма. Нуль не обходится, так что мы на той же ветви и получаем начало в $\ln3$, конец в $\ln(-1)=\pi i$. Опять без обхода нуля.
Значит, мы на главной ветви кубического корня. Конец кривой -- $\sqrt[3]{\pi i}=e^{\frac{\pi i}6}$.

[hjury]

ex-math в сообщении #788731 писал(а):

Давайте попробуем разбить на этапы.
Рассмотрим образ этой кривой при отображении $1+\sqrt z$. Получим нечто, начинающееся в $3$ и заканчивающееся в $-1$, при этом не обходящее нуль, а обходящее точку $2$. Так?
Теперь посмотрим во что она перейдет под действием логарифма. Нуль не обходится, так что мы на той же ветви и получаем начало в $\ln3$, конец в $\ln(-1)=\pi i$. Опять без обхода нуля.
Значит, мы на главной ветви кубического корня. Конец кривой -- $\sqrt[3]{\pi i}=e^{\frac{\pi i}6}$.

Не понял, откуда взялась точка $-1$. Хотя $-1$, как я понимаю, обойдя всю кривую мы заработаем приращение для корня $2\pi $ и тем самым получаем, искомый образ.
Правда я не понял, почему мы не обходим нуль

[ex-math]

Если мы обходим Вашу кривую, то $\sqrt z$ меняет знак, добавляем единичку -- получается $-1$.
Про то, что не обходим нуль, я имел в виду, что образы нашей кривой не наматывают витки вокруг начала координат -- все в пределах одной ветви происходит.

[hjury]

Цитата:

Про то, что не обходим нуль, я имел в виду, что образы нашей кривой не наматывают витки вокруг начала координат -- все в пределах одной ветви происходит.

Хм, не совсем понимаю, почему не обходит вокруг нуля образ?

Цитата:

Значит, мы на главной ветви кубического корня. Конец кривой -- $\sqrt[3]{\pi i}=e^{\frac{\pi i}6}$.

Откуда $\exp{\frac{\pi i}{6}}$ откуда 6?

[ex-math]

Потому что $i=e^{\frac {\pi i}2}$. Да, там еще $\sqrt[3]{\pi}$ должен быть -- про него забыл что-то. Итого $\sqrt[3]{\pi}e^{\frac{\pi i}6}$.

Посмотрите, куда переходит кривая при отображении $1+\sqrt z$. Образ, грубо говоря, лежит в верхней полуплоскости. Потом посмотрите, что делает с этим образом логарифм.

[hjury]

То есть продолжение вдоль такой кривой есть $ (\ln({1+\sqrt{z}}))^{\frac{1}{3}}|_{\gamma}=(\pi\ln{3})^{\frac{1}{3}}\exp{\frac{\pi i}6}.$. Хорошо, вроде примерно понял, как подобное получилось