Линейно ли пространство R ≥ 0 над полем Q

[stasicoz]

Вопрос, почему пространство $L = {R \ge 0}$ над полем $K=Q$ линейно, ведь $Q \times L$ не отражает в $R \ge 0 $ при элементах $Q < 0$ ? Или нет, и условие $Q \times L \to L$, для всех элементов поля $Q$ не является необходимым условием линейного пространства ?

Определение линейного пространства на изображении.

[gris]

Даже не понятно, в чём подвох в этой задаче. Конечно, можно определить операцию сложения так, что множество неотрицательных чисел будет линейным пространством над любым полем. Но тут что имеется в виду? Обычные операции сложенияи умножения? Тогда Вы сами ответили, почему это не будет линейным пространством.

Если бы спрашивалось линейно ли $\mathbb Q$ над $\mathbb R$, тогда ещё бы чуть интереснее было. Впрочем, может быть там что-то скрыто?

[stasicoz]

Да, для обычного сложения и умножение, линейности нет, так как не будет обратных элементов, а обычное умножение будет давать элементы не входящие $\mathbb{R} \ge 0 $.

Вот такие упражнения из Кострикин-Мамин:


Поискав похожие задачи я нашёл решения, например здесь пунк (б) http://academout.ru/tasks/mmf1/03.php, однако меня как-то не устроило, объяснение там, что пространство является линейным потому что есть ноль.

Может быть тут задача действительно хитрей с тем что нужно было самому найти такие бинарные операции исходя из которых он может быть линейными пространством.
например:
$\mathbb{K}=\mathbb{Q}$, $\mathbb{L}=\mathbb{R} \ge 0$

$q_1,q_2 \in \mathbb{Q}$

$X_1,X_2 \in \mathbb{L} = \mathbb{R} \ge 0$

$q_1 \otimes X_1 \to X_1^{q_1} = l_1 $
$q_2 \otimes X_2 \to X_2^{q_2} = l_2 $
$l_1 \oplus l_2 = X_1^{q_1} \cdot X_2^{q_2} $
тогда да, с такими операциям наличия нуля в имеет смысл, так как обе бинарные операции отражают в \mathbb{R} \ge 0$, для любого элемента пространства существуют обратные элементы в том же пространстве, правило дистрибутивности выполняется, есть единица по умножению и ноль по сложению.

[AV_77]

По вашей ссылке неправильно. Читайте лучше учебники. И, кстати, с нулем осторожнее надо быть, относительно ваших операций $\otimes$ и $\oplus$ множество неотрицательных чисел не является векторным пространством.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[stasicoz]

AV_77 в сообщении #769474 писал(а):

По вашей ссылке неправильно. Читайте лучше учебники. И, кстати, с нулем осторожнее надо быть, относительно ваших операций $\otimes$ и $\oplus$ множество неотрицательных чисел не является векторным пространством.

Да вы правы, относительно $\oplus$, $X = 0$ явно не удовлетворяет условиям линейного пространства.

Таким образом, положительные числа относительно операций $\otimes$ и $\oplus$ являются линейным пространством, а неотрицательные числа не являются. Не соблюдается симметрия относительно нуля(единицы) по сложению. Данный случай очень похож на ситуацию когда отрезок без краёв гомеоморфен всей прямой действительных чисел.

Спасибо. gris, AV_77

[provincialka]

Читала эту тему и удивлялась. Как могут неотрицательные числа образовывать линейное пространство над $\mathbb Q$? Разве $-1$ - не рациональное число?

[stasicoz]

provincialka в сообщении #769661 писал(а):

Читала эту тему и удивлялась. Как могут неотрицательные числа образовывать линейное пространство над $\mathbb Q$? Разве $-1$ - не рациональное число?

-1 конечно же рациональное число.

Всё началось с того что я нашёл, так сказать, ответы этой задачи здесь http://academout.ru/tasks/mmf1/03.php, пункты а,б. Тоже сильно сомневался и не понимал, как у них такие ответы получаются.

[provincialka]

Ну, мало ли в интернете чепухи. Меня больше смущает постановка задачи в учебнике. Она как бы предполагает два разных ответа, хотя на мой взгляд, оба ответа - "нет", если, конечно, использовать обычные операции.

[stasicoz]

provincialka в сообщении #769672 писал(а):

Ну, мало ли в интернете чепухи. Меня больше смущает постановка задачи в учебнике. Она как бы предполагает два разных ответа, хотя на мой взгляд, оба ответа - "нет", если, конечно, использовать обычные операции.

"Линейная Алгебра и Геометрия" А.И. Кострикин, Ю.И. Манин.
Упражнения к первому параграфу Линейные пространства.

Если вы считаете что всё дело только в бинарных операциях или что задача определена некорректно. То попробуйте предложить бинарные операции для неотрицательных чисел над $\mathbb{Q}$, чтобы получить линейное пространство.

[gris]

Множество неотрицательных чисел равномощно множеству всех действительных чисел, которые пространство образуют. Операции определить можно, но в задаче имеются в виду обычные сложение и умножение.
Ни положительные, ни неотрицательные числа пространства не образуют. По-моему.
А в задаче ещё три пункта, и особенность именно в поле рациональных чисел.

[stasicoz]

gris в сообщении #769405 писал(а):

Конечно, можно определить операцию сложения так, что множество неотрицательных чисел будет линейным пространством над любым полем. ....

А не могли бы вы привести пример этих бинарных операций которые дадут линейное пространство над Q, для множества неотрицательных чисел? Просто очень любопытно увидеть такой фокус.

[nnosipov]

gris в сообщении #769679 писал(а):

Ни положительные, ни неотрицательные числа пространства не образуют. По-моему.

(Опечатку исправил.) К чему сомнения? Конечно, не образуют.

[gris]

Сомнения в том, что возможно перед этим рассматривалась группа положительных чисел по умножению.
Да нет, посмотрел внимательнее задачу. Там действительно дело в $\mathbb Q$, над которым рассматриваются различные группы.
А насчёт бинарной операции: я же предложил через биекцию. Там, конечно, для неотрицательных чисел теряется непрерывность и здравый смысл, но pourquoi pas?

[bot]

stasicoz в сообщении #769682 писал(а):

А не могли бы вы привести пример этих бинарных операций которые дадут линейное пространство над Q, для множества неотрицательных чисел?

Например так: $x\oplus y=xy+x+y, \alpha\odot x=(x+1)^\alpha-1$