Сходимость интеграла

[igor.sh]

Вот моя попытка иследовать интеграл на сходимость , здесь есть ошибки? $\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos^22x}{2x+3}dx\leq \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2x}dx = \lim_{A \rightarrow +\infty}\frac{\ln A-\ln 0}{2}=\infty \Rightarrow$ расходится

[Otta]

Теорема. Если функции неотрицательны, и интеграл от меньшей расходится, то интеграл от большей расходится.

Вы ее использовали? Если да, то как? Ошибка, в частности, в том, что Ваш вывод (расходится) необоснован. Да и неверен, что уж: из этого неравенства не следует расходимость исходного интеграла.

[bot]

Otta в сообщении #768653 писал(а):

Да и неверен, что уж

Не обоснован вывод - да. Ошибочен - да, но это опять про вывод. А к чему отнести "что уж"? Ответ ведь наверняка ТС известен, так что не открою большого секрета, если скажу, что расходится.
Подсказка: $2\cos^2 x=1+\cos 2x$

[ewert]

Подсказка для разнообразия: очевидно, что сходимость интеграла $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\cos^22x}{2x+3}dx$ равносильна сходимости интеграла $\int\limits_{\frac{\pi}4}^{+\infty}\frac{\cos^22x}{2x-\frac{\pi}2+3}dx$ ...

[bot]

(Оффтоп)

Так ещё круче - тут уже нечего подсказывать, разве что $\sin^2 x+\cos^2 x=1$, а у меня вторая подсказка не такая тривиальная.

[Otta]

bot

(Оффтоп)

А что мы считаем выводом? Интеграл расходится, потому что расходится последний интеграл? или просто интеграл расходится?
Для меня только первое - вывод.

[ewert]

Otta в сообщении #768676 писал(а):

Интеграл расходится, потому что расходится последний интеграл? или просто интеграл расходится?

Интеграл сходится, если сходится каждое из слагаемых. И расходится, если сходится ровно одно из слагаемых.

[Otta]

ewert
Спасибо. ))) Буду знать.

(Оффтоп)

Ах, это, братцы, о другом. (с)

(Оффтоп-2)

ewert в сообщении #768681 писал(а):

И расходится, если сходится ровно одно из слагаемых.

Если слагаемых два.

[ewert]

(Оффтоп)

Так скажите ж хоть сло-о-во! (с)