Вложение пространства Соболева в пространство Лебега

[dikiy]

Существует ли вложение пространства Соболева $W_{2,\mu}^1[0,\infty)$ в пространство Лебега $L_{2,\mu}[0,\infty)$? Мера $\mu$ задана как $d\mu=exp(-t)dt$. Также можно принять за данное, что все элементы обладают свойством $x(0)=0$.

Никак не удается доказать что слабо сходящаяся последовательность в первом пространстве, сильно сходится во втором :(

PS
В распоряжении кроме всего прочего имеется доказанное неравенство Лапласа дла данного промежутка. т.е.:

$\|x\|_{L_{2,\mu}}\leq c\|x\|_{W_{2,\mu}^1}$

[Oleg Zubelevich]

для таких случаев есть стандартные критерии компактности см. Иосида Функциональный анализ, теорема Фреше-Колмогорова

[ewert]

dikiy в сообщении #763707 писал(а):

$\|x\|_{L_{2,\mu}}\leq c\|x\|_{W_{2,\mu}^1}$

Очень интересное неравенство -- если учесть, что оно (для $c=1$) верно просто по определению соболевской нормы.

[dikiy]

ewert в сообщении #763786 писал(а):

dikiy в сообщении #763707 писал(а):

$\|x\|_{L_{2,\mu}}\leq c\|x\|_{W_{2,\mu}^1}$

Очень интересное неравенство -- если учесть, что оно (для $c=1$) верно просто по определению соболевской нормы.

это была ошибка. я имел ввиду

$\|x\|_{L_{2,\mu}}\leq c\|\dot x\|_{L_{2,\mu}}$