Задачка по планиметрии

[fiztech]

Окружность с центром в точке $O$, лежащей на стороне $AB$
треугольника $ABC$ проходит через точку $A$, пересекает сторону $AC$
в точке $K $, а сторону $BC$ в точках $ L$ и $M$.Известно,что $KC = CL =$
$MB = 2$, $AK = 3$. Найдите отношение длин отрезков $AO$ и $OB$.

Нашел $BC$ , а дальше не знаю что делать.

[gris]

Ну если Вы нашли $BC$ и $AC$ (последнее практически дано в условии), то подумайте, что такое $CO$ в $\triangle ABC$.

[fiztech]

gris
Доказать что это биссектриса я смог , а как доказать , что это высота ?

[gris]

А как Вы нашли $BC$? Ведь биссетрисы уже достаточно. Биссектриса — это правильно, а насчёт высоты я не уверен совсем.

[fiztech]

gris

$LM$ нашел через теорему о секущих , прибавил 4 и получил $BC$

[gris]

Ну да. Значит $AC=5;\;BC=7,$ и Вы доказали, что $CO$ — биссектриса. И Вам нужно найти отношение отрезков, на которые она делит сторону, к которой проведена. Так это отношение входит в число основных свойств биссектрисы треугольника.

[fiztech]

gris
Ааааааа)))) Я и забыл про это свойство. Спасибо

[_Ivana]

Отточенное владение этим свойством биссектрисы позволяет gris решать задачи гораздо проще и элегантнее, чем тупо в лоб, показательный пример

[gris]

Куда уж влобее?

А я ещё и формулу Герона знаю