Деление на вектор?

[torn]

$\overrightarrow{P}=\sum\limits_{a}\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v_a}}$, где: $\overrightarrow{P}$ - импульс механической системы, состоящей из $a$ материальных точек, $L$ - её лагранжиан, $\overrightarrow{v_a}$ - скорость а-ой точки системы. Собственно вопрос в сабже.

[Ms-dos4]

torn
И где вы тут деление на вектор нашли?

[provincialka]

Может, это производная по направлению?

Кстати, выражение $\frac{\partial u}{\partial x}$ не является дробью (делением).

[torn]

provincialka в сообщении #761165 писал(а):

Кстати, выражение $\frac{\partial u}{\partial x}$ не является дробью (делением).

Почему?
Производная - суть предел отношения. Разве нет?

[Munin]

Ms-dos4 в сообщении #761168 писал(а):

Не может, а так и есть

Вообще-то нет. Это не производная по направлению, а градиент - вектор из всех частных производных по всем возможным переменным $v_{a\{x,y,z\}}.$

Производная по направлению пишется похожими значками, но для неё вектор $\vec{v}_a$ должен быть конкретной величиной, перед тем, как брать производную. А если есть только пространство векторов $\vec{v}_a,$ то это градиент в этом пространстве.

[Ms-dos4]

Munin

(Оффтоп)

Да, да, я это уже понял, поэтому сообщение и стёр).

-- Сб сен 07, 2013 00:42:13 --

torn
Не для частных производных (а строго говоря и не для обычных, хотя там Лейбницевским представлением можно пользоваться).

[Munin]

torn в сообщении #761174 писал(а):

Почему?
Производная - суть предел отношения. Разве нет?

Так можно рассматривать производную в анализе одной переменной ("прямую" $\tfrac{dy}{dx}$). Но нельзя уже - в анализе нескольких переменных ("круглую" $\tfrac{\partial y}{\partial x}$). Этот символ приходится брать целиком, потому что хотя производная - это и предел отношения, но какого именно отношения - здесь нельзя "расцепить" числитель и знаменатель.

-- 07.09.2013 00:43:26 --

Ms-dos4 в сообщении #761177 писал(а):

Да, да, я это уже понял, поэтому сообщение и стёр).

А я коварно успел ответить :-) И что делать?

[spyphy]

в каком-то учебнике по физике видел, что просто по определению полагали
$\frac{\partial L}{\partial \vec{v}} := (\frac{\partial L}{\partial v_x}, \frac{\partial L}{\partial v_y}, \frac{\partial L}{\partial v_z}) $
а может даже и так:
$\frac{f}{\vec{v}} := (\frac{f}{v_x}, \frac{f}{v_y}, \frac{f}{v_z}) $.
не помню точно.

[torn]

Хорошо.
Можно упростить задачу до стационарного и независящего от координаты лагранжиана:
$\overrightarrow{P}=\frac{d L}{d \overrightarrow{v}}$

[Munin]

Это упрощение ничего не упрощает, и не даёт вам права заменять "круглые" производные на "прямые". Правильно писать всё равно $\vec{P}=\tfrac{\partial L}{\partial\vec{v}},$ и что это означает, написано у spyphy (в первой формуле). (И кстати, если вы избавляетесь от индекса $a,$ то вы должны сказать, что ваша система одночастичная.)

[torn]

Munin в сообщении #761206 писал(а):

Это упрощение ничего не упрощает, и не даёт вам права заменять "круглые" производные на "прямые".

Почему?
Пример. Точка с массой $m$ движется вне каких бы то ни было полей. $L=\frac{m\overrightarrow{V}^2}{2}$ зависит только от $\overrightarrow{V}$. Что мне запретит написать $\overrightarrow{P}=\frac{d L}{d \overrightarrow{v}}$ вместо $\overrightarrow{P}=\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v}}$?

Munin в сообщении #761206 писал(а):

написано у spyphy (в первой формуле).

Я не понял этих формул. Очень сильно похоже на определение операции деления на вектор, которая, по-моему, математически несостоятельна.

Munin в сообщении #761206 писал(а):

(И кстати, если вы избавляетесь от индекса $a,$ то вы должны сказать, что ваша система одночастичная.)

Согласен.

[provincialka]

Считайте, что производная по вектору - это три производных по компонентам.

Что касается дроби, сравните:
$y=f(x), dy=f'dx$, значит, $f'=\frac{dy}{dx}$

$u=f(x,y), du=f'_x dx+f'_y dy$. Можно ли отсюда найти производные делением?

[ewert]

torn в сообщении #761227 писал(а):

$L=\frac{m\overrightarrow{V}^2}{2}$ зависит только от $\overrightarrow{V}$. Что мне запретит написать $\overrightarrow{P}=\frac{d L}{d \overrightarrow{v}}$ вместо $\overrightarrow{P}=\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v}}$?

Вот именно что только от $\overrightarrow{V}$. Тогда при желании -- ради бога. Вообще же лагранжиан зависит отнюдь не только от скоростей, и кривоватость производных означает в точности то, что производные берутся только по скоростям при фиксированном всём остальном. Это просто частный случай универсальной записи $\dfrac{\partial\vec f(\vec x,\vec y)}{\partial\vec x}$.

[Munin]

torn в сообщении #761227 писал(а):

Почему?
Пример. Точка с массой $m$ движется вне каких бы то ни было полей. $L=\frac{m\overrightarrow{V}^2}{2}$ зависит только от $\overrightarrow{V}$. Что мне запретит написать $\overrightarrow{P}=\frac{d L}{d \overrightarrow{v}}$ вместо $\overrightarrow{P}=\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v}}$?

То, что такой операции не определено в матанализе. И кстати, $L$ всегда есть функция и от координат, и от скоростей, даже если в формулу соответствующих буковок не входит - поэтому "прямую" производную от неё брать по-любому нельзя.

torn в сообщении #761227 писал(а):

Я не понял этих формул. Очень сильно похоже на определение операции деления на вектор

но им не является. (Вторая формула чушь, разумеется. Первая широко распространена как сокращение.)

ewert в сообщении #761237 писал(а):

Вот именно что только от $\overrightarrow{V}$. Тогда при желании -- ради бога.

Для какой-то плевать-какой функции - да. Для функции Лагранжа - нет. У неё то, от каких переменных она зависит, входит в определение функции, а не выясняется глядением на формулу.

[ewert]

Munin в сообщении #761240 писал(а):

То, что такой операции не определено в матанализе.

Вполне себе определена. Правда, так её обычно не записывают, но при желании -- вполне можно записать и так.