Задача о 4-х кубах. 4-х параметрическое решение

[korolev]

Спасибо за статьи! В первой нашел важное для меня описание общей схемы Эйлера:



Но прав ли я, что схема Коровьева значительно лучше? Да и очень бы хотелось поместить в свою книгу ее вывод . Сам автор что-то совсем обленился (шучу). Просто вывод столь замечательных формул стало бы жемчужиной будущей моей работы по популяризации теории чисел.

[tolstopuz]

korolev в сообщении #770666 писал(а):

Спасибо за статьи! В первой нашел важное для меня описание общей схемы Эйлера:

Мы эту схему уже третий день обсуждаем :)

Для меня эти статьи открыли другое. Оказывается, теорема Клебша о шести раздутиях (1871) получила практическое воплощение только в XXI веке в виде алгоритма получения кубической параметризации кубической поверхности.

[korolev]

Одно дело обсуждать, а другое - хорошую ссылку в литературе найти. За это и спасибо говорю :)

[tolstopuz]

korolev в сообщении #770666 писал(а):

Но прав ли я, что схема Коровьева значительно лучше?

Нет. Она лучше для одного применения - получения таблицы решений, не превышающих данного $n$. Хотя даже она ненадежна, потому что ни в одной из схем мы не знаем, когда пора прекращать расчеты - вдруг мы еще что-то пропустили. Так что пока это преимущество сводится к более простой подгонке под заранее известный ответ.

Она еще замечательна в другом отношении - если вместо параметров поставить решение, на выходе (после сокращения) будет то же самое решение. Этот вопрос требует исследования.

В остальных отношениях схемы с тремя параметрами лучше, потому что они отражают геометрическую суть вопроса. Исходное уравнение является уравнением поверхности в проективном пространстве, и эти параметризации дают координаты на этой поверхности.

korolev в сообщении #770666 писал(а):

Да и очень бы хотелось поместить в свою книгу ее вывод . Сам автор что-то совсем обленился (шучу). Просто вывод столь замечательных формул стало бы жемчужиной будущей моей работы по популяризации теории чисел.

Краткий вывод есть в первом сообщении, но, насколько я понял при беглом просмотре вашей книги, уровень требуемых для его понимания знаний высоковат для помещения в нее. Лучше уж поместить несколько наборов формул в готовом виде.

Кстати, вывод в книге Харди по сути очень похож на вывод Коровьева, только в нем вначале делается замена переменных. У меня была мысль переписать его без этой замены, получить результат Коровьева чуть более ясным путем и понять, что означают четыре параметра вместо трех, но что-то я посередине запутался и бросил.

-- Пт окт 04, 2013 19:06:33 --

Посмотрите на примере единичной окружности. Есть одномерная параметризация:

$$x=\cos\varphi, y=\sin\varphi$$

А есть двумерная:

$$x=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}, y=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Если нужно получать рациональные точки на окружности, вторая явно лучше: берем любую пифагорову тройку - и вот результат. В первой же какие-то непонятные синусы, которые, кроме четырех тривиальных точек, дадут рациональные значения только при иррациональном аргументе.

Но первая параметризация помогает геометрической интуиции, она ясно показывает, что перед нами кривая, зависящая от одного параметра.

[korolev]

Не совсем соглашусь. Синус - это ведь как маленькая спецфункция, если смотреть с точки зрения геометрии. Зависит (так исторически сложилось) от двух параметров: противолежащего катета и гипотенузы того же пифагорова треугольника. Отношению двух параметров просто присвоили свой значок. Точно так же, как есть значек факториала, и т.д. Мы работаем здесь в области алгебры и, на мой взгляд, совершенно необязательно привязываться к геометрической поверхности. У нас простые полиномы четвертого порядка и в хорошо описанном решении должен быть красивый порядок организации параметров. Я больше поэт, чем математик, и интуитивно чувствую гармонию формул. Согласитесь, с схеме Коровьева гармония четче видна. Есть единство структур строк и всех степеней. В данном случае я созерцаю математические символы, как картины. Одна смотрится лучше другой. Поверьте, я вышел на данную тему по ключам в Гугле, и первое, что меня поразило - это первый же пост формул Коровьева. Какая-то внутренняя красота математических знаков играли, как рисунки на ковре. Я же много собрал частных решений задачи десятка классных математиков. И ни одно так сильно в душе не екнуло.
Возможно, мой ответ очень наивный, но примерно такое читал, кажется, у Морделла.

[tolstopuz]

korolev в сообщении #770707 писал(а):

Синус - это ведь как маленькая спецфункция, если смотреть с точки зрения геометрии. Зависит (так исторически сложилось) от двух параметров

Жаль, что вы не поняли того, что я написал. Но не страшно, пусть дети будут хотя бы восторгаться формой, а содержание за ней узнают через годы, если им это будет интересно :)

(Оффтоп)

Я программист, и теперь начинаю понимать идеологию индусов с их вечным copy-paste. Видимо, они в душе поэты :)

return (Param.Object->*(Param.Function))(Param.Param);

Param := TDAParam.Create( TParams(Params) );
Params.AddParam(Param);
TParam(Param).Value := AValue;

-- Пт окт 04, 2013 20:16:39 --

Кстати, возникла интересная мысль - а не встречали ли вы параметризации пифагоровых троек с тремя параметрами? А то к красоте всем известной двухпараметрической формулы $(m^2-n^2:2mn:m^2+n^2)$ тоже можно придраться :)

А если еще она будет переводить пифагорову тройку в себя - вообще гениально.

[korolev]

Таких индусов не встречал, но забавно. Они даже больше, чем поэты, - чуть ли не певцы.
Иной параметризации пифагоровых троек не обнаруживал, и мысль такая не возникала. Ведь формулы как раз сложены очень красиво и сбалансировано. Кстати, схемы Коровьева и Пифагора похожи по восприятию. Существенное и оправданное их различие обусловлено только четно-нечетностью структуры основных слагаемых ($x^2+y^2=z^2 \, ; \quad x^3+w^3=y^3+z^3$); . А так: в схеме Пифагора имеем единственное не единичное значение коэффициента 2, в схеме Коровьева - только коэффициент 3. Трехпараметрические Формулы Эйлера и Бине сбалансированы лишь попарно. Потому-то они хуже смотрятся и, видимо, поэтому трудней проверяются.

[Коровьев]

tolstopuz в сообщении #770332 писал(а):

Получается решение, отличающееся от первоначального на общий множитель, только я еще не выяснил, на какой.

Если сложить 3-е и 4-е уравнения то получим:
$u + v = 6qr^3 $
Проверка показывает,что $r$ и есть общий параметрический множитель.
$p^2 + 3q^2 = \left( {x^2 - xy + y^2 } \right)\left( {u^2 - uv + v^2 } \right) = r\left( {u^2 - uv + v^2 } \right)$
Т.о. все переменные делятся на $r^2$

tolstopuz в сообщении #770574 писал(а):

Но системы и не могут быть эквивалентны, потому что у вас лишний параметр.

Квадратичные формы с разным числом переменных могут. Подумал, а вдруг и тут.

tolstopuz в сообщении #770574 писал(а):

Так что предлагаю вам поменять местами первую и вторую пару уравнений

Да, факт достаточно неожиданный и для меня удивительный! Менять в прошлых страницах не буду. Считайте, что поменял!

tolstopuz в сообщении #770684 писал(а):

Кстати, вывод в книге Харди по сути очень похож на вывод Коровьева, только в нем вначале делается замена переменных. У меня была мысль переписать его без этой замены, получить результат Коровьева чуть более ясным путем и понять, что означают четыре параметра вместо трех, но что-то я посередине запутался и бросил.

Тоже, кстати. Я в начале так и поступил, как у Харди. Оно и понятно. Путь самый напрашивающийся. Но кольцо $\mathbb{R}(\sqrt { - 3}) $ с неоднозначным разложением на простые множители, (Оно какое то неправильное, число"2" всё портит и вечно вылезающая и портящая всю симметрию преобразований "тройка" ).
В кольце $\mathbb{R}(- \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}) $ разложение однозначно и всё правильно.
Харди "теряет" параметры сразу, когда переходит к отношению алгебраических чисел. Но там этого и не надо, поскольку он сразу ориентировался на рациональные алгебраические числа. Я сразу имел ввиду только целые алгебраические числа, посему и параметров получается больше.

[korolev]

Коровьев в сообщении #770790 писал(а):

В кольце $\mathbb{R}(- \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}) $ разложение однозначно и всё правильно.

Как Вы догадались именно с таким "колечком" поиграть?

[korolev]

И еще. Если рассматривать задачу о четырех квадратах:

$x^2+y^2+z^2=w^2$

то решения могут быть такими:

$x=2\,{a}^{2}{c}^{2} - 2\,ab{c}^{2} \pm 2\,abcd$

$y=2\,{a}^{2}{c}^{2}+2\,ab{c}^{2} \pm 2\,abcd$

$z={b}^{2}{d}^{2}-{a}^{2}{c}^{2}+{b}^{2}{c}^{2} \pm 2\,abcd$

$w={b}^{2}{d}^{2}+3\,{a}^{2}{c}^{2}+{b}^{2}{c}^{2} \pm 2\,abcd$

Вот интересно сопоставить такое с задачей о четырех кубах.

[wotch]

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ЧЕТЫРЕХ КУБАХ
положительное разложение
$p^3+q^3+r^3=s^3$
$p^3+r^3=s^3-q^3$
отрицательное разложение
$(-p)^3+q^3+r^3=s^3$
$q^3+r^3=s^3+p^3$
сводятся к единому виду которое есть квадратное решение
$b>a,c<0$

$x^3+(x+a)^3=(x+b)^3+(x+c)^3$

$(a^2-b^2-c^2)=(a^3-b^3-c^3)/y+y(a-b-c)/3$

$z/k=3(a^2-b^2-c^2)/(a-b-c)$
$u/k=3(a^3-b^3-c^3)/(a-b-c)$
$w^2=z^2-4uk$

$y_1=-(z+w)/2$
$y_2=-(z-w)/2$



$x_1=-y_1/3$
$x_2=-y_2/3$


видим что кубического решения не нужно
решаем квадратное уравнение и получаем
два точных решения

условие целых чисел

$(a-b-c)/6$

$w^2$

то есть разность должна делится на шесть
и точно извлекаться квадратный корень

несокращаемые делители сохраняются

решение продолжается до тех пор пока не будет
отрицательных корней

пример исходное число и все его решения
с перекомбинацией положительных результатов

$-48^3+243^3+302^3=347^3$
$((a=59),(b=104),(c=-195))$

$(#1)>(297^3+678^3=817^3-592^3)$
$(#2)>(297^3+592^3=817^3-678^3)$
$(#3)>(592^3+678^3=817^3-297^3)$

$(end)>(-2606^3+69281^3+97856^3=108281^3)$

$(#4)>(1848^3+3027^3=3722^3-2597^3)$
$(#5)>(1848^3+2597^3=3722^3-3027^3)$
$(#6)>(2597^3+3027^3=3722^3-1848^3)$

$(end)> (-2007^3+26382^3+30127^3=35752^3)#

$(#7)> (171889^3+1937111^3=2197736^3-1494986^3)$
$(#8)> (171889^3+1494986^3=2197736^3-1937111^3)$
$(#8)> (1494986^3+1937111^3=2197736^3-171889^3)$

$(end)> (-314`868`733^3+939`946`858^3= =1`699`639`483^3-1`601`905`108^3)$

$(end)> (-4`791`801`653^3+8`746`176`653^3= =12`446`639`778^3-11`226`983`528^3)#


еще один способ такой


$x^3+y^3=z^3+w^3$

$b+c=x$
$a+c=y$
$a+a+c=z$

$w^3=c^3-3a^2b-3ab^2-6abc$

$a=z-x$
$c=y-(z-x)$
$b=z-y$

$w^3=((y-(z-x))^3-(y-x)^3+(z+x)^3- -(z-y)^3-6y(z-x)(z-x))$

это число должно быть полным кубом

для справки существует программа QBASIC для расчетов
закажите на [e-mail] вышлю и будете решать