Плотность вероятности

[Neytrall]

У меня простой вопрос.
Допустим, $T_1\sim Exp(\mu_1) , T_2\sim Exp(\mu_2), Z\sim Ber(\pi)$ Все они независимы друг от друга.
Если $T=ZT_1+(1-Z)T_2$
Верно ли, что $f_T=f_Zf_{T_1}+(1-f_Z)f_{T_2}$ ?

[_hum_]

И что, вы поверите на слово? :)
Может, стоит самому попробовать доказать, используя формулу полной вероятности и свойства условных распределений?

[Neytrall]

Это лишь предположение, которое мне нужно для решения задания :)
Я помню, что в случае если $X, Y$ независимы и относятся к экспоненциальной семье, то $f(XY)=f(X)f(Y)$. Но я не уверен в этом, вот и решил подстраховаться.

[_hum_]

Neytrall в сообщении #759870 писал(а):

вот и решил подстраховаться.

См. пост выше.

[Neytrall]

То есть вы мне не можете ответить на поставленный вопрос. Тогда буду проверять сам. А не будет ли проще доказать это через производящую функцию моментов?

[_hum_]

Нет.

[--mS--]

Neytrall в сообщении #759870 писал(а):

Я помню, что в случае если $X, Y$ независимы и относятся к экспоненциальной семье, то $f(XY)=f(X)f(Y)$.

Загадочная формула. Вы сами-то понимаете, что тут написано? Какая-то функция от произведения случайных величин равна произведению её же от сомножителей. Что это?

Neytrall в сообщении #759850 писал(а):

Верно ли, что $f_T=f_Zf_{T_1}+(1-f_Z)f_{T_2}$ ?

А это кто? Главным образом, кто такое тут $f_Z$? Кто такое $f_{T_1}$, я ещё могу понять - это плотность распределения величины $T_1$ без никакого аргумента. Но $f_Z$ - увы.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #759927 писал(а):

Кто такое $f_{T_1}$, я ещё могу понять - это плотность распределения величины $T_1$ без никакого аргумента. Но $f_Z$ - увы.

Как видится, вероятности из распределения Бернулли :)

[--mS--]

Это Вы так думаете. Что думает ТС, пусть он и ответит.

[Neytrall]

$f_T=f_Zf_{T_1}+(1-f_Z)f_{T_2}=\pi(1-\pi)\mu_1e^{-s\mu_1}+(1-\pi(1-\pi))\mu_2e^{-s\mu_2}=f_T(s)$

[--mS--]

Неверно.

[Neytrall]

А что конкретно неверно?

[--mS--]

А давайте Вы попробуете найти функцию распределения этой смеси по формуле полной вероятности? Или сделаете хоть что-нибудь.

[_hum_]

Neytrall в сообщении #759982 писал(а):

$f_T=f_Zf_{T_1}+(1-f_Z)f_{T_2}=\pi(1-\pi)\mu_1e^{-s\mu_1}+(1-\pi(1-\pi))\mu_2e^{-s\mu_2}=f_T(s)$

Что такое $\pi$? И почему (из каких соображений), как выходит из вашей записи, $f_Z = \pi(1-\pi)$ ?

[--mS--]

Прогнозирую следующий вопрос ТС: "А что там должно быть?"