Плотность вероятности

[Neytrall]

_hum_ в сообщении #760179 писал(а):

Что такое $\pi$? И почему (из каких соображений), как выходит из вашей записи, $f_Z = \pi(1-\pi)$ ?

Тут я точно ошибся.
$\pi$ это параметр распределения Бернулли.
Должно быть что-то в этом роде:
$f_T(s)=f_Zf_{T_1}+(1-f_Z)f_{T_2}=\pi\mu_1e^{-s\mu_1}+(1-\pi)\mu_2e^{-s\mu_2}$

Но при дальнейшем решение у меня не выходит правильный ответ.

[_hum_]

Может, тогда, чтобы не заморачиваться на плотности, рассмотреть аналогичную в методическом плане, но более простую задачу.
Пусть
$X' \sim \mathrm{Poisson}(\lambda') $
$X'' \sim \mathrm{Poisson}(\lambda'') $
(дискретные с.в. с пуассоновским законом распределения вероятностей $p_X(k) = P(X = k) = \lambda^k e^{-\lambda} / k!, \,k = 0,1,2,\dots$)
$\beta \sim \mathrm{Bernulli}(\pi)$

В предположении совместной незавиcимости этих случайных величин найти закон распределения вероятностей для с.в.

$Y = \beta X' + (1-\beta) X''$.

(Подсказка: воспользоваться формулой полной вероятности для событий $ и $, $).

[Neytrall]

$P(Y=k)=P(Y=k|\beta=0)P(\beta=0)+P(Y=k|\beta=1)P(\beta=1)=P(X''=k)P(\beta=0)+P(X'=k)P(\beta=1)$

Вы это имеете ввиду?

[_hum_]

Да (хотя вы как-то пропустили промежуточные вычисления, а там есть тонкий момент, в котором задействована независимость). Таким образом, получили $p_Y(k) = (1-\pi) \, p_{X''}(k) + \pi \,p_{X'}(k)$. Теперь идея понятна?

[Neytrall]

Да. Большое спасибо.

-- Ср сен 04, 2013 03:32:49 --

По той же идее выходит, что $f_T(t)=\pi \mu_1e^{-\mu_1t}+(1-\pi) \mu_2e^{-\mu_2t}$

А скажите, как можно высчитать такой лимит:

$\lim_{t \to \infty}\frac{\pi \mu_1e^{-\mu_1t}+(1-\pi) \mu_2e^{-\mu_2t}}{\pi e^{-\mu_1t}+(1-\pi) e^{-\mu_2t}}$

Я пробовал правило Лопиталя, но оно тут не помогает...

[--mS--]

Предположить, что кто-то из "мю" больше, а кто-то меньше, например, $\mu_1 > \mu_2$, и домножить числитель и знаменатель на $e^{\mu_2 t}$.

[Neytrall]

Получилось. Предел $\lim_{t \to\infty} (...)=\mu_2$
Но я не совсем понимаю, почему это верно. Та функция является функцией интенсивности отказов (hazard function) $\lambda (t)=\frac{f(t)}{S(t)}$ где $S(t)$ - survival function.
И если $t$ растет, разве не должна и эта функция тоже расти?

[--mS--]

Почему она должна расти? Например, для показательного распределения она вообще постоянна.

[Neytrall]

Извиняюсь, я перепутал её с кумулятивной функцией риска.
А есть какое-то объяснение, интуитивное что ли, почему лимит именно $\mu_2$?

[--mS--]

Только совсем на пальцах. На эту штуку можно смотреть как на плотность некоторой вероятности. Типа вероятности случиться страшному непосредственно за моментом $t$, если до момента $t$ ничего такого не случилось. Ваше распределение - это смесь двух показательных. Одно с большой интенсивностью, второе с маленькой. Одно выпадает, если монетка упала гербом, второе - если решкой. Если до большого (ещё и растущего) момента $t$ ничего страшного не случилось, то вряд ли монета выпала гербом. Значит, скорее всего, она выпала решкой, и время до проблемы - просто экспоненциальное с меньшей интенсивностью. Вот она и вылезла.

[Neytrall]

Понятно. Большое вам спасибо!