2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Эквивалентность метрик
Сообщение01.09.2013, 18:08 
Собственно, может ли быть метрика, заданная ограниченной функцией быть эквивалентной метрике, заданной неограниченной функцией?

 
 
 
 Re: Эквивалентность метрик
Сообщение01.09.2013, 19:04 
Пусть $\rho(x,y)$ -- метрика. Докажите, что $\rho'(x,y)=\min\{1,\rho(x,y)\}$ --метрика эквивалентная метрике $\rho$

 
 
 
 Re: Эквивалентность метрик
Сообщение02.09.2013, 17:21 
Я понял вашу идею, но начну, наверное, сначала)
Нужно доказать, что метрики $\delta(x,y)=|x-y|$ и $ \rho(x,y)=|\arctg(x-y)| $ эквивалентны.
Метрики эквивалентны, если существуют $a, b$ такие что:
$a\delta\leq \rho\leq b\delta$.
$b$, понятно, равно единице. $a$ зависит от значения в скобках и постоянного $a$ найти нельзя

 
 
 
 Re: Эквивалентность метрик
Сообщение02.09.2013, 17:25 
xenich в сообщении #759902 писал(а):
ы, если существуют $a, b$ такие что:
$a\delta\leq \rho\leq b\delta$.

это еще что?
метрики эквивалентны если из того, что последовательность сходится в одной метрике следует ,что она сходится и в другой и наоборот

 
 
 
 Re: Эквивалентность метрик
Сообщение02.09.2013, 18:13 
wiki/Equivalence_of_metrics

 
 
 
 Re: Эквивалентность метрик
Сообщение02.09.2013, 18:36 
и что?

 
 
 
 Re: Эквивалентность метрик
Сообщение02.09.2013, 18:44 
Strong equivalence

Two metrics $d_{1}$ and $d_{2}$ are strongly equivalent if and only if there exist positive constants $ \alpha$ and $\beta$ such that, for every $x,y\in X$,
$\alpha d_{1}(x,y) \leq d_{2}(x,y) \leq \beta d_{1} (x, y)$.

По вашему определению эквивалентности метрик, я уже решил эту задачу, спасибо за наводку. хотелось бы разобраться с этим определением эквивалентности

 
 
 
 Re: Эквивалентность метрик
Сообщение02.09.2013, 18:46 
Ваши метрики не являются сильно эквивалентными, это очевидно. Сильная эквивалентность сохраняет равномерную структуру т.е. если последовательность является последовательностью Коши в о дной метрике, то она является последовательностью Коши и в сильно эквивалентной метрике.

 
 
 
 Re: Эквивалентность метрик
Сообщение02.09.2013, 18:50 
Я не встречал в литературе понятие сильной эквивалентности. Теперь всё понятно, спасибо.

 
 
 
 Re: Эквивалентность метрик
Сообщение02.09.2013, 18:51 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #759929 писал(а):
и что?
Как я понял, по ссылке, указанной _hum_, можно найти некоторые утверждения, равносильные (топологической) эквивалентности метрик. Некоторые из них могут оказаться удобными для проверки.

 
 
 
 Re: Эквивалентность метрик
Сообщение02.09.2013, 18:53 
да, на всякий случай, я предполагаю, что ТС вводит метрики на $\mathbb{R}$

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group