Эквивалентность метрик

[xenich]

Собственно, может ли быть метрика, заданная ограниченной функцией быть эквивалентной метрике, заданной неограниченной функцией?

[Oleg Zubelevich]

Пусть $\rho(x,y)$ -- метрика. Докажите, что $\rho'(x,y)=\min\{1,\rho(x,y)\}$ --метрика эквивалентная метрике $\rho$

[xenich]

Я понял вашу идею, но начну, наверное, сначала)
Нужно доказать, что метрики $\delta(x,y)=|x-y|$ и $ \rho(x,y)=|\arctg(x-y)| $ эквивалентны.
Метрики эквивалентны, если существуют $a, b$ такие что:
$a\delta\leq \rho\leq b\delta$.
$b$, понятно, равно единице. $a$ зависит от значения в скобках и постоянного $a$ найти нельзя

[Oleg Zubelevich]

xenich в сообщении #759902 писал(а):

ы, если существуют $a, b$ такие что:
$a\delta\leq \rho\leq b\delta$.

это еще что?
метрики эквивалентны если из того, что последовательность сходится в одной метрике следует ,что она сходится и в другой и наоборот

[_hum_]

wiki/Equivalence_of_metrics

[Oleg Zubelevich]

и что?

[xenich]

Strong equivalence

Two metrics $d_{1}$ and $d_{2}$ are strongly equivalent if and only if there exist positive constants $ \alpha$ and $\beta$ such that, for every $x,y\in X$,
$\alpha d_{1}(x,y) \leq d_{2}(x,y) \leq \beta d_{1} (x, y)$.

По вашему определению эквивалентности метрик, я уже решил эту задачу, спасибо за наводку. хотелось бы разобраться с этим определением эквивалентности

[Oleg Zubelevich]

Ваши метрики не являются сильно эквивалентными, это очевидно. Сильная эквивалентность сохраняет равномерную структуру т.е. если последовательность является последовательностью Коши в о дной метрике, то она является последовательностью Коши и в сильно эквивалентной метрике.

[xenich]

Я не встречал в литературе понятие сильной эквивалентности. Теперь всё понятно, спасибо.

[Someone]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #759929 писал(а):

и что?

Как я понял, по ссылке, указанной _hum_, можно найти некоторые утверждения, равносильные (топологической) эквивалентности метрик. Некоторые из них могут оказаться удобными для проверки.

[Oleg Zubelevich]

да, на всякий случай, я предполагаю, что ТС вводит метрики на $\mathbb{R}$