Задача на нахождение среднего значения по положению точки на

[sami]

У меня вот есть задача, с которой я зашел в тупик. Проблема в интеграле, который я все никак не могу взять. Вообщем ниже условие и этот интеграл(который я составил в процессе решения). Я еще не очень уверен, правильно ли я его составил.
Условие: Дана единичная окружность с центром в т.О, в нее вписан правильный многоугольник ${ A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }{ A }_{ 2 }\dots { A }_{ n }$. Есть вектор $\overrightarrow { ON } $, где вершина N лежит на заданной окружности. Требуется посчитать такое среднее по всем положениям этого вектора по окружности: ${ \left< \prod _{ i=1 }^{ n }{ \left( \overrightarrow { ON } ,\overrightarrow { { OA }_{ i } } \right) } \right> }_{ N }$.
Интеграл:$ \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \prod _{ i=1 }^{ n }{ \cos { \left( (i-1)\frac { 2\pi }{ n } -\alpha \right) d\alpha } } } $

[SpBTimes]

Интеграл составлен правильно, однако разумнее все это дело развернуть. Тогда получится:

$$ \int\limits_0^{2 \pi} \cos^n(\alpha) \cdot \prod\limits_{i = 1}^n \cos(\frac{2 \pi i}{n}) d\alpha + ... $$

Произведения от альфы не зависят, а интегралы берутся рекуррентно

[sami]

$\cos ^{ n }{ \alpha \cdot \prod _{ i=1 }^{ n }{ \cos { \left( \frac { 2\pi }{ n } i \right) } } +\cos ^{ n-1 }{ \alpha \cdot \sin { \alpha } \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ \cos { \left( \frac { 2\pi }{ n } i \right) } } + } } \cos ^{ n-1 }{ \alpha \cdot \sin { \alpha } \left( \prod _{ i=1 }^{ n-2 }{ \cos { \left( \frac { 2\pi }{ n } i \right) } } \right) \cdot \sin { \left( \frac { 2\pi }{ n } (n-1) \right) \cdot \cos { \left( \frac { 2\pi }{ n } n \right) } } + } \dots +\cos ^{ n-k }{ \alpha \cdot \sin ^{ k }{ \alpha } \left( \prod _{ i=1 }^{ n-k }{ \cos { \left( \frac { 2\pi }{ n } i \right) } } \right) \cdot \sin { \left( \frac { 2\pi }{ n } (n-k) \right) \cdot \left( \prod _{ i=k }^{ n }{ \cos { \left( \frac { 2\pi }{ n } i \right) } } \right) } +\dots } $
SpBTimes, я правильно Вас понял?

-- 01.09.2013, 18:02 --

Правда я не совсем понимаю, как тут получить точный ответ

[SpBTimes]

sami
Да, я ошибся, с явным выражением тут туговато. Нужно подумать, можно ли что-то еще сделать. Ясно, что должен пройти лобовой способ - произведение превращать в сумму.

[sami]

Можно ли это произведение представить в виде такой суммы:
$\sum _{ m=0 }^{ n-1 }{ \cos ^{ n-m }{ \alpha \cdot \sin ^{ m }{ \alpha \cdot \left( \prod _{ i=1 }^{ n-m }{ \cos { \left( \frac { 2\pi }{ n } i \right) } } \right) } \cdot \sin { \left( \frac { 2\pi }{ n } (n-m) \right) \cdot \left( \prod _{ i=m }^{ n }{ \cos { \left( \frac { 2\pi }{ n } i \right) } } \right) } } } $
и дает ли это что-либо?

[sami]

вообщем, мне удалось свести исходных интеграл к интегралу вида:$ -\int { { V }^{ \frac { n-4 }{ 2 } }\left( 1+V \right) \left( { a }^{ 2 }+V \right) \left( { a }^{ 4 }+V \right) \dots } dV $
Правильно ли я понимаю, что теперь нужно n раз проинтегрировать по частям? Но если так, то как упорядочить остаточные члены?

[sami]

точно ли там верны пределы интегрирования?просто у меня при подстановке получается от 1 до 1, а это явно бред какой-то

[ИСН]

В этом смысле интеграл от любой функции по единичной окружности - это от 1 до 1 (ведь мы откуда ушли, туда же и пришли!), а значит, равен 0 и считать его не надо

[sami]

да, но интегрирование там по углу)просто там я замену делаю и $ V={ e }^{ 2i\alpha } $

[ИСН]

Ну и какую новую информацию Вы добавили этими словами? И так понятно, что по углу. И так понятно, что вот такая замена. Теперь примените это к любой функции.

[sami]

"В этом смысле интеграл от любой функции по единичной окружности - это от 1 до 1 (ведь мы откуда ушли, туда же и пришли!), а значит, равен 0 и считать его не надо " Но ответ не нуль, в этом то и проблема. Я точный ответ не знаю, но там должно получаться 1/2 в какой-то степени и ответ зависит от четности-нечетности.

[ИСН]

Да уж понятно, что если бы этот интеграл всегда от всех функций был равен нулю, то такое понятие не стоило бы и вводить! Значит что?

Кажется, там для нечётных будет всё-таки 0, а для чётных - то, что Вы сказали, только с переменным знаком.

[sami]

Вы такой полезный, спасибо большое! Я умирал от СПИДа, но своим комментарием Вы вылечили мой геморрой. Надеюсь, что Вы всем так помогаете.

[type2b]

Вроде, можно свести к такой комбинаторике:

$$\frac{1}{2^N}\prod_{k=0}^{N-1}\left(\exp(2\pi i k/N) t + \exp(-2\pi i k/N) t^{-1}\right)\,,$$

найти коэффициент при $t^0$.

-- Пт сен 06, 2013 15:28:43 --

теперь воспользуемся тем, что эта функция от $t$ не меняется при повороте $t\rightarrow \exp(2\pi i/N) t$. Поэтому в многочлене могут быть ненулевыми только коэффициенты при $t^{\pm N}$ и $t^0$. Первые нам известны, многочлен при $t=1$ тоже известен, подставляем и радуемся:

$$\prod_{k=0}^{N-1}\cos(2\pi k/N) - 1/(-2)^{N-1}\,.$$

нигде не вру?

[sami]

type2b, похоже на правду. После всех подстановок получается, с учетом Вашего предложения, такой ответ: $\left< \dots \right> ={ \left( -1 \right) }^{ N }\cdot { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ N-1 }\cdot \cos { \frac { \pi N }{ 2 } } $ (нигде не ошибся?) Но все равно при нечетных N получается ноль. Я явно чего-то не понимаю.