Задача на нахождение среднего значения по положению точки на

[type2b]

при $N$ нечетном подынтегральное выражение имеет знак то плюс, то минус, и эти вклады сокращаются, поэтому 0.
При четном $N$ ребра $OA_i$ образуют $N/2$ прямых, вклад каждой из которых в произведение неположителен. Соответственно, при четном $N$, кратном 4, ответ положителен, а при четном, но неделящемся на 4 -- отрицателен.

[sami]

есть еще вариант решить в тензорном виде: $\left< \dots \right> =\overline { { OA }_{ i }{ ON }_{ i }{ OA }_{ j }{ ON }_{ j }{ OA }_{ k }{ ON }_{ k }\dots } ={ OA }_{ i }{ OA }_{ j }{ OA }_{ k }\dots \overline { { ON }_{ i }{ ON }_{ j }{ ON }_{ k }\dots } =\frac { 1 }{ (2n+1)!! } { OA }_{ i }{ OA }_{ j }{ OA }_{ k }\dots \cdot \left( { \delta }_{ ij }{ \delta }_{ km }\dots +\dots \right) $
Но как тут разобраться со всевозможными скалярными произведениями многоугольника?

-- 08.09.2013, 11:22 --

type2b, похоже на правду, спасибо!) Нет ли у Вас каких-либо соображений по поводу решения в тензорном виде?

[type2b]

с тензорным решением получается симметричная сумма произведений всех возможных попарных произведений векторов. Я не вижу, как это легко вычислить (наверное, это можно свести к тому же полиному).

(+поправка: в моем решении надо было подставлять $t=i$, а не $t=1$. Вы, видимо, так и сделали.)