Функциональный анализ

[Nakutaro]

1) Доказать и вычислить норму функционала
$f(x)=\int_{-1}^{1} (1-2t)x(t)dt$

Оценил функционал снизу:
$|f(x)|\leqslant|\int_{-1}^{1} (1-2t)dt|\leqslant||x||\int_{-1}^{1/2} (1-2t)dt - \int_{1/2}^{1} (1-2t)dt=-13/3$
Далее надо оценить функцией, вот не знаю какой, подскажите пожалуйста.

2) Докажите, что множество $M=\{x: \int_{0}^{1} x(t)dt=\int_{-1}^{0} x(t)dt\}$ есть подпространство $L_2[-1,1]$. Найдите ортогональное дополнение этого подпространства, а так же проекцию элемента $x_0(t)=2t-3$ на M и расстояние от $x_0$ до М.

Начало решения:
$y(t)=\begin{cases} C,&\text{если $t\geqslant0$;}\\ -C,&\text{если $t<0$;}\\ \end{cases}$
$x_0(t)=x(t)+y(t)$
$x(t)=x_0(t)-y(t)$
$\int_{0}^{1} (2t-3-C)dt=\int_{-1}^{0} (2t-3+C)dt $
от сюда получаем, что C=1
$y(t)=\begin{cases} 1,&\text{если $t\geqslant0$;}\\ -1,&\text{если $t<0$;}\\ \end{cases}$
$x(t)=2t-3\mp1$ - проекция

Далее надо найти расстояние от $x_0$ до y, оно равно $||y||$, а как вычислить $||y||$?

[Otta]

Nakutaro в сообщении #757859 писал(а):

Доказать и вычислить норму функционала

На каком пространстве задан функционал?

Nakutaro в сообщении #757859 писал(а):

Оценил функционал снизу:

Может быть, все-таки сверху? :)
И что-то слишком много ошибок для одной строчки. Все указывать не буду, сами найдете, но Вас не смущает, что модуль не превосходит отрицательного числа?

-- 26.08.2013, 16:47 --

Nakutaro в сообщении #757859 писал(а):

Доказать и вычислить норму функционала

А задание Вы сами придумали или где взяли?
Вычислить норму - это понятно, если все атрибуты функционала указаны, а доказать что надо?

[Nakutaro]

$x\in C[-1,1]$
а $|f(x)|\leqslant ||x||10/4$
Не туда посмотрел, когда ответ переписывал.

И доказать линейность функционала.

[Otta]

Ну уж с линейностью тут никаких проблем быть не должно.
Оценка точная. А теперь пройдитесь по цепочке и попробуйте сообразить, на какой функции неравенство обращается в равенство. Чтобы мысль не блуждала, ищите сразу из единичной сферы. Да, и дробь сократите, что уж.

[function]

А что такое "норма функционала"?

[Nakutaro]

function в сообщении #757889 писал(а):

А что такое "норма функционала"?

$||f(x)||$.

Otta в сообщении #757885 писал(а):

Чтобы мысль не блуждала, ищите сразу из единичной сферы. Да, и дробь сократите, что уж.

Нарисовал график, всё равно не могу понять какую функцию взять.

[Otta]

Nakutaro
А это Вы график чего нарисовали? Спорим, на такой функции значение функционала по модулю будет меньше, чем надо?
Меня в детстве учили так - методично пройтись по всем неравенствам в цепочке и понять, когда каждое из них превращается в равенство.
У Вас, правда, слишком небрежная запись, напишите нормально.
function

function в сообщении #757889 писал(а):

А что такое "норма функционала"?

Поскольку линейный ограниченный функционал - частный случай линейного ограниченного оператора, то норма для него определяется в точности так же.