Отрицательные корни

[TR63]

(Оффтоп)

В интернете случайно встретила пример (в частном виде). Понравился (но не решение, т.к. длинновато). По его мотивам сделала обобщение в виде задачи, предлагаемой ниже.

Задача. Для уравнения $x^4-a_2x^2-a_3x+a_4=0$, $a_i>0$ найти условие на коэффициенты (желательно, критерий; правда, это сложнее), чтобы уравнение не имело отрицательных корней.

[Ms-dos4]

TR63
Теорема Декарта вам в помощь

[TR63]

Ms-dos4,
Одна теорема Декарта не решает проблемы однозначным образом (но направление верное).

[mihiv]

Достаточное условие: $a_4\geqslant \dfrac {a_2^2}{4}$

[TR63]

mihiv,
тепло(это, похоже, самое простое, что может прийти на ум в первую очередь; попробуйте найти зависимость между $a_2$, $a_3$; ну, и, конечно, критерий.)

[Ms-dos4]

TR63
$\[f(x) = {x^4} - a{x^2} - bx + c = 0\]$
По теореме Декарта имеем, что положительных корней либо 2, либо 0. Применим теперь теорему Декарта к многочлену
$\[f( - x) = g(x) = - {x^4} + a{x^2} + bx - c\]$
Имеем, что у исходного многочлена либо 2 отрицательных корня, либо 0. Теорема Декарта даёт ТОЧНОЕ число корней (т.е. в данном случае 2) если исключить наличие комплексно-сопряжённых корней. В нашем случае дискриминант многочлена $\[g(x)\]$ равен
$\[D = 4{(4c + \frac{{{a^2}}}{3})^3} - 27({b^2} + \frac{8}{3}ac - \frac{2}{{27}}{a^2}){}^2\]$
Нам необходимо наличие 2-х комплексно сопряжённых корней, тогда у многочлена $\[g(x)\]$ будет 0 положительных корней, а у $\[f(x)\]$ 0 отрицательных корней. Итог- условие
$\[4{(4c + \frac{{{a^2}}}{3})^3} - 27({b^2} + \frac{8}{3}ac - \frac{2}{{27}}{a^2}){}^2 < 0\]$

упрощать лень...

[TR63]

Ms-dos4,
да, что-то формула страшненькая получилась. (У меня сразу без упрощений получается простенькая формула. Может, кто-то из нас врёт (ошибается). Может, они эквивалентны (сомневаюсь).)

Ms-dos4 в сообщении #757137 писал(а):

Теорема Декарта даёт ТОЧНОЕ число корней (т.е. в данном случае 2)

Почему при исключении комплексных корней в данном случае по теореме Декарта не может быть четырёх действительных корней: два отрицательных и два положительных? Я, думаю, что теорема Декарта не исключает такой возможности (даже при нулевой возможности).

-- 24.08.2013, 09:07 --

Почему мы должны исключить случай двух пар комплексных корней (ведь отрицательных корней не будет).

[Ms-dos4]

TR63

Цитата:

Почему при исключении комплексных корней в данном случае по теореме Декарта не может быть четырёх действительных корней: два отрицательных и два положительных? Я, думаю, что теорема Декарта не исключает такой возможности (даже при нулевой возможности).

А этот случай мы дискриминантом и исключили

Цитата:

Почему мы должны исключить случай двух пар комплексных корней (ведь отрицательных корней не будет).

А вы знаете почему в т. Декарта кол-во корней может отличаться на чётное число? Это из за наличия комплексно-сопряжённых корней. Если их нет, теорема Декарта даёт точно число корней. А здесь применяем это "в обратную".

[TR63]

Ms-dos4
1). Мне, действительно, не известна теорема о том, что дискриминант исключает максимум действительных корней. Но известно другое условие, исключающее этот максимум (пока этот момент пропустим).
2). Ваша формула учитывает случай отсутствия действительных корней или нет? (Критерий должен содержать область отсутствия действительных корней, т.к. такая область содержит отсутствие отрицательных корней.)
3). Я поняла так, что Ваша формула не является критерием, поскольку не содержит область отсутствия действительных корней.

[Ms-dos4]

TR63
1)Я не понял вашего вопроса. Что значит, дискриминант исключает максимум действительных корней? Я поясню на примере. Пусть у нас есть какое-то квадратное уравнение, и по т. Декарта мы получили, что там либо 2 положительных корня, либо 0. Если мы покажем, что дискриминант больше нуля, то там обязательно будет 2 положительных корня(т.к. мы исключили наличие комплексных корней). Ну а здесь условие D<0 даёт нам, что у $\[g(x)\]$ есть два действительных корня и два комплексных. Т.е. из т. Декарта как раз и нужно вычесть пару корней.
2)Два действительных корня будут обязательно, это обеспечивается отрицательностью дискриминанта.

[TR63]

Ms-dos4 в сообщении #757303 писал(а):

не понял вашего вопроса. Что значит, дискриминант исключает максимум действительных корней?

Ms-dos4 в сообщении #757248 писал(а):

А этот случай мы дискриминантом и исключили

Речь шла о двух отрицательных и двух положительных корнях. Вы написали, что исключили этот случай дискриминантом. Теперь Вы пишите, что отрицательный дискриминант гарантирует ровно два действительных корня. (Тогда понятно.) Вы это точно знаете? (Откуда?) Аналогия с уравнениями второй, третьей степени вряд ли уместна, т.к. именно на четвёртой степени возможна потеря ранее присущего свойства из-за наличия неразрешимости уравнений пятой степени в радикалах.
В принципе, всё понятно. (Критерия пока нет.)

[Ms-dos4]

TR63
В смысле откуда? Вы знаете дискриминант уравнения 4-ой степени? Точнее нет. Спрошу по другому. В знаете что такое дискриминант в общем виде?
P.S.По поводу наличия действительных корней. Если дискриминант больше нуля и результант больше нуля, то все корни комплесные (две пары сопряжённых). (Есть правда ещё вырожденный случай с двойными комплексными корнями но это требует спец. подбора коэффициентов).
P.P.S.Я правда могу ошибаться, вечером гляну по поводу знаков дискримината/результанта в справочник.

[TR63]

Курош у меня есть. Но там о количественной характеристике корней уравнений четвёртой степени ничего нет. Пришлось самостоятельно решить эту проблему. Правда, решение вопроса о достаточной области, зависящей от (a_2;a_3) вообще очень простое (но надо знать идею, лежащую в основе доказательства; без Декарта).

[TR63]

Ясно, что для решения задачи необходимо отсечь наличие максимума действительных корней. Мне было известно два способа, как это сделать (критерий и простое достаточное условие; критерий есть в Вике без доказательства, но доказательство простое, школьное). Последовала намерениям Ms-dos4. Нашла в Вике ещё один достаточный способ (с помощью дискриминанта), но это тяжёлая артиллерия. Правда, она экстраполируется (по Вике) на произвольную степень. Моё достаточное условие отсутствия максимума действительных корней-отсутствие этого максимума в производной. Т. е. максимум может произойти только от максимума. Для третьей, четвёртой степени это легко доказывается (по школьному). А, вот, можно ли экстраполировать это свойство на произвольную степень? С учётом сказанного в решении исходной задачи остаётся один шаг до достаточной области с очень кратким логическим обоснованием.

[TR63]

TR63 в сообщении #758904 писал(а):

Т. е. максимум может произойти только от максимума. Для третьей, четвёртой степени это легко доказывается (по школьному). А, вот, можно ли экстраполировать это свойство на произвольную степень?

Да. Это следствие теоремы Ролля. Тогда исходную задачу можно обобщить. Но ещё надо дорешать саму исходную задачу.