Отрицательные корни

[mihiv]

Перепишем уравнение в виде:

$$f(x)=a_3x, \text {где}f(x)=x^4-a_2x^2+a_4\qquad (1)$$

График левой части (1) симметричен относительно оси $y$, имеет два минимума и один (положительный) максимум. Правая часть (1)- прямая с угловым коэффициентом $a_3$. Теперь из геометрических соображений понятно, что условие отсутствия отрицательных корней имеет вид:

$$a_3>f'(x_0)\qquad (2)$$

где $x_0$ определяется из уравнения

$$f'(x_0)=\dfrac {f(x_0)}{x_0}\qquad (3),(x_0<0)$$

Решая уравнение (3), получим

$$x_0^2=\dfrac {a_2+\sqrt {a_2^2+12a_4}}6$$

а условие отсутствия отрицательных корней (2) примет вид

$$a_3>2\sqrt {\dfrac {a_2+\sqrt {a_2^2+12a_4}}6}\left (\dfrac {2a_2-\sqrt{a_2^2+12a_4}}3\right )$$

[TR63]

Моё достаточное условие, которое можно экстраполировать на уравнения чётной степени: если производная имеет минимум действительных корней, т.е. один, то исходное, указанного ранее типа, не имеет отрицательных корней.

Задача (продолжение исходной задачи). Найдите условие (желательно критеий) наличия двух отрицательных и ноль положительных корней в уравнении $x^4-a_2x^2-a_3x+a_4=0$ (решение такой задачи уже будет частным решением открытой проблемы: определение количественного состава комплексных корней с положительной действительной частью; об этом прочитала в книге за 2009г. "Математика в задачах" под ред. Заславского).

[mihiv]

TR63 в сообщении #760415 писал(а):

Найдите условие (желательно критеий) наличия двух отрицательных и ноль положительных корней в уравнении $x^4-a_2x^2-a_3x+a_4=0$

Если все $a_i>0$, то этот вариант (т.е. два отрицательных и ноль положительных корней) невозможен, что следует из приведенного выше "геометрического" анализа этого уравнения.

[TR63]

mihiv в сообщении #760484 писал(а):

Если все $a_i>0$, то этот вариант (т.е. два отрицательных и ноль положительных корней) невозможен

Да. Чередование знаков указано в условии.
Ms-dos4, вроде, говорит о таком же результате на основании Декарта плюс критерий наличия просто двух действительных корней. Я с ним почти согласна. Но есть небольшой очень странный нюанс (недорешённость; или я чего-то не понимаю; об этом, возможно, напишу позже).

[TR63]

Отсутствие варианта: два отрицательных, ноль положительных можно доказать методом от противного, разложив многочлен четвёртой степени на два многочлена второй степени и проанализировав дискриминанты.
При существовании критерия для варианта: два действительных, два комплексных (обозначим эту область А), плюс Декарт получим, применяя этот метод к уравнению $f(x)=0$ и $f(-x)=0$, что в области А одновременно находятся два положительных и два отрицательных корня, а должно быть только два действительных, т.к. комплексные отсутствуют по критерию. Т. е. два действительных корня одновременно положительны и отрицательны. Короче, получилась химера. Но, тем не менее, всё логично. Для конечной области был бы абсурд, но для бесконечной-нормально. Какой знак имеет место в реальности, достаточно проверить хотя бы в одной точке. Осталось предъявить критерий, и будет доказано существование химер. (Пока этот момент пропустим.)

Задача (продолжение). Найдите область отсутствия действительных корней в уравнении
$x^4-a_2x^2-a_3x+a_4=0$