свойства многочленов над произвольными полями

[Konstantce]

Пусть $F$ - произвольно поле, и $f$ - многочлен из $F[X]$, который в данном поле разлагается на различные линейные множители:$f(X)=\prod\limits_{i=1}^n(X-a_i)$ $a_i\not=a_j$.
Положим $g_k(X)=\prod\limits_{i=1,i\not=k}^n(X-a_i)$.
Нужно доказать, что $g_k(a_k)=f'(a_k)$.
Здесь проявляется аналогия с полем вещественных чисел $R$, где для данного свойства можно воспользоваться свойством пределом функций. Но в данном случае, поле даже не обязано быть числовым!
Как быть?

[Joker_vD]

В лоб расписать $f'(X)$ и подставить $a_k$, что спокойно в уме проделывается.

[VAL]

Konstantce в сообщении #756299 писал(а):

Пусть $F$ - произвольно поле, и $f$ - многочлен из $F[X]$, который в данном поле разлагается на различные линейные множители:$f(X)=\prod\limits_{i=1}^n(X-a_i)$ $a_i\not=a_j$.
Положим $g_k(X)=\prod\limits_{i=1,i\not=k}^n(X-a_i)$.
Нужно доказать, что $g_k(a_k)=f'(a_k)$.
Здесь проявляется аналогия с полем вещественных чисел $R$, где для данного свойства можно воспользоваться свойством пределом функций. Но в данном случае, поле даже не обязано быть числовым!
Как быть?

Для проверки этого свойства никакие пределы не нужны. Все элементарно выводится из определения формального дифференцирования полиномов над полем. Ведь в этом случае справедливы те же самые свойства производной суммы и произведения, что и в классическом (это легко выводится из определения).