Нелинейная функция с увлекательным свойством

[Ktina]

Существует ли нелинейная функция, определённая на всей вещественной оси, имеющая производные всех целых неотрицательных порядков и такая, что при любом натуральном $n$ её $n$-я производная всюду по модулю не превосходит

$$\dfrac{1}{n!}\quad\text{?}$$

[cool.phenon]

Существует.

$$f(x)=\begin{cases}e^{-\sum\limits_{k=1}^{+\infty}{\frac{1}{(x-k)^2}}}, x \text{ не в } \mathbb{N}\\ 0, x\in \mathbb{N} \end{cases} $$

Все производные в натуральных точках нулевые (под условие подходит), а сама функция ненулевая. Чтобы проверить, достаточно подставить любое число, которое не является натуральным. Самое трудное здесь -- обосновать бесконечную дифференцируемость.

[Ktina]

cool.phenon,
Спасибо!

[sergei1961]

Я не разобрался, что при любом натуральном-это про аргумент.
Кстати, ряд через пси-функцию выражается (логарифмическую производную гамма-функции).

[g______d]

cool.phenon в сообщении #755719 писал(а):

Все производные в натуральных точках нулевые (под условие подходит)

Все-таки по условию нужны не только натуральные точки. И конкретно эта функция, по-моему, не подходит: производные в точке $-1$ убывают как степени двойки, а надо быстрее (если я не проврался).

[cool.phenon]

g______d
Это да, лично я понимал вот так:

$$|f^{(n)}(k)|\le \frac{1}{n!}, k\in \mathbb{N}$$

Можно сделать то же самое, только для всех целых чисел, просто нужно будет суммировать по всем целым числам (от минус до плюс бесконечности), ряд сходиться тоже будет (если я не ошибся).

А в Вашем понимании задача ставится так:

$$|f^{(n)}(x) |\le \frac{1}{n!}, x \in \mathbb{R} $$

Кстати, можно попробовать эту же функцию (только для всех целых чисел) проверить в этом варианте, возможно, получится.

[sergei1961]

По всем целым ряд будет совсем простой функцией, периодичной периода 1, а именно:
$\frac{{\pi}^2}{{\sin(\pi x)}^2}$.

А во втором варианте функция только линейная. Конкретный вид постоянных не при чём тогда. Есть такой более общий факт. Пусть функция задана при $x<a$ с некоторым конечным $a$ и удовлетворяет неравенствам равномерным по $k$ вида $|f^{(k)}(x)|\le A\exp(b|x|)$. Тогда это только экспонента.

[_Ivana]

Тоже пытался подумать в меру своих скромных возможностей - получается, нет такой нелинейной функции. Задача в эквивалентной (имхо) формулировке звучит так: существует ли нелинейная всюду дифференцируемая функция, первая производная которой по модулю всюду меньше любого эпсилон большего нуля

[g______d]

sergei1961 в сообщении #755766 писал(а):

Пусть функция задана при $x<a$ с некоторым конечным $a$ и удовлетворяет неравенствам равномерным по $k$ вида $|f^{(k)}(x)|\le A\exp(b|x|)$. Тогда это только экспонента.

Чем плохо $f(x)=\sin x$, $A=1$, $b=0$ ?

[Ktina]

_Ivana в сообщении #755770 писал(а):

... существует ли нелинейная всюду дифференцируемая функция, первая производная которой по модулю всюду меньше любого эпсилон большего нуля ...

Почему?
Первая производная по модулю всюду не больше $\frac{1}{1!}$, вторая -- не больше $\frac{1}{2!}$ и т. д.

[cool.phenon]

Ktina
Там же могла стоять любая бесконечно малая вместо $\frac{1}{n!}$,а у неё на первом месте может быть что угодно, хоть $\frac{1}{1!}$, хоть $\frac{1}{10001!}$.

[Ktina]

cool.phenon в сообщении #755777 писал(а):

Ktina
Там же могла стоять любая бесконечно малая вместо $\frac{1}{n!}$,а у неё на первом месте может быть что угодно, хоть $\frac{1}{1!}$, хоть $\frac{1}{10001!}$.

Если заменить $\dfrac{1}{n!}$ на $\dfrac{1}{2^n}$, то функция $f(x)=\sin\dfrac{x}{2}$ будет с радостью удовлетворять условию

[sergei1961]

Да, я дважды был неправ.
1. Для теоремы Лиувилля надо ограниченность в области комплексной плоскости, а тут только на оси. Поэтому можно утверждать из ряда Тэйлора только аналитичность, на всей оси -что функция целая. Для этого действительно хватает меньших постоянных.
2. Понимаю, что про экспоненциальные оценки написал глупость. Но тут не всё так просто, я не один такой. На самом деле это цитата из канонической книги Inequalities Involving Functions
and Their Integrals and Derivatives, D.S. Mitrinovic, J.E. Pecaric, and A.M. Fink, C.561:

Tagamlicki gave related results in three papers [87], [88], and [89]. We shall
give only the following two results from [87] and [89] respectively.
(i) Let $f(x)$ have derivatives of all order for $x < a$ and let
$|f^{(k)}(x)|\le A\exp x$ $(k=0,1,2, ... )$.
Then
$f(x)=B\exp x$ ,
where $B$ is constant such that $|B|\le A$.

Что-то они там переврали при цитировании, что редкость для выверенных классических книг Д. Митриновича. Скорее всего, речь идёт об оценках в комплексной области, трудно проверить, хотя статья из ДАН, может кто-то скопирует.

Кстати, Тагамлицкий был очень хорошим болгарским математиком, одного поколения с Обрешковым. Николя Обрешков-автор преобразования Обрешкова, обобщения преобразований Лапласа, Ханкеля и Майера, первого исторически интегрального преобразования с функцией Майера в ядре. Тагамлицкий -учитель другого известного болгарского математика Ивана Димовски, классика в вопросах операторов преобразования, операторных свёрток, гипербесселевых функций. Ему сейчас около 80, дай бог здоровья.

[g______d]

sergei1961 в сообщении #755907 писал(а):

$|f^{(k)}(x)|\le A\exp x$ $(k=0,1,2, ... )$.
Then
$f(x)=B\exp x$

А, ну здесь-то модуля нет в экспоненте. Это несколько меняет дело.

[sergei1961]

Вы имеете в виду, что тут важно, чтобы оценка выполнялась при отрицательных $x$?