Нелинейная функция с увлекательным свойством

[g______d]

Да. Мне кажется. Там же убывающая экспонента.

[cool.phenon]

sergei1961
А Вы не могли бы показать, как выходит, что

$$e^{-\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x-k)^2}}=\frac{\pi^2}{\sin (\pi x)^2} ?$$

Просто интересно.

[g______d]

А с чего бы вдруг? Левая часть ограничена в целых точках, а правая обращается в бесконечность.

[cool.phenon]

g______d
У меня такой же вопрос возник.

[sergei1961]

Не, ребят, не придирайтесь уж совсем так. Написал же только про сумму, а Вы сразу и с экспонентой! А для суммы это каноническое разложение мероморфной функции на простейшие дроби, теорема Миттаг-Лефлера, кажется, суммировал МАТЕМАТИКОЙ, низкий поклон Олегу Игоревичу Маричеву, подарившему легальную 9ю версию.

[g______d]

Если экспоненту убрать, то другое дело, конечно.

[sergei1961]

Интересно рассмотреть более общие суммы, которые возникли в теме:

$$ S_1=\sum\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+k)^s}, S_2=\sum\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+k)^s}. $$

МАТЕМАТИКА даёт готовые формулы, всё неулучшаемо, кроме второй суммы при натуральных $s\ge2$. Там получается конечная сумма котангенсов и косекансов понятного вида. Как бы коэффициенты разложения выразить через известные числа, получится у кого-то сразу, или может это известно? В справочнике Прудников, Брычков, Маричев вроде нет.

[g______d]

Интересно. Но задача ТС пока остается.