Тензорное произведение матриц Паули

[ksardase]

Нужно преобразовать выражение
$\tau_{\alpha\gamma}^{a}\tau_{\beta\delta}^{a}$
где
$a=1,2,3$
$\alpha$, $\gamma$, $\beta$, $\delta=1,2$
$\tau^{1}$, $\tau^{2}$, $\tau^{3}$ - матрицы Паули.
Проблема заключается в том, что у меня не получается привести к, как казалось, наиболее логичному базису $\delta_{\alpha\beta}\delta_{\gamma\delta}$, $\delta_{\alpha\beta}\epsilon_{\gamma\delta}$, $\epsilon_{\alpha\beta}\epsilon_{\gamma\delta}$. Какие предложения?
PS Если выбирать "базис" именно таким образом, то противоречие можно уяснить, рассматривая след $\tau_{\alpha\alpha}^{a}\tau_{\alpha\alpha}^{a}=0$ и значение $\tau_{11}^{a}\tau_{11}^{a}=1$. И получается что такой "базис" вовсе не базис.

[Munin]

$\delta_{\alpha\beta}$, $\epsilon_{\alpha\beta}$ - два вектора, а пространство матриц $2\times 2$ четырёхмерно.

[ksardase]

А слева и не матрица, а тензор 4 ранга размерности 2. Казалось бы, что базис среди таких тензоров 4 ранга есть прямая сумма базисов двух пространств тензоров 2 ранга. То есть - всевозможные тензорные произведения от символа Кронекера и антисимметричного тензора второго ранга.

[Munin]

ksardase в сообщении #756049 писал(а):

А слева и не матрица, а тензор 4 ранга размерности 2.

Тензор 2 ранга - пространство матриц удобно считать векторным. Иначе это вообще не будет тензором...

ksardase в сообщении #756049 писал(а):

Казалось бы, что базис среди таких тензоров 4 ранга есть прямая сумма базисов двух пространств тензоров 2 ранга.

Что такое "прямая сумма базисов"? Такого термина нет.

Но главное - я вам указываю, что вы даже в исходном пространстве матриц не базис взяли.

[espe]

ksardase в сообщении #755068 писал(а):

Нужно преобразовать выражение
$\tau_{\alpha\gamma}^{a}\tau_{\beta\delta}^{a}$

Смотрите Completeness relation