Не могу понять формулировку задачи

[Dave]

Someone, спасибо за экскурс, я помню, как определяется степень с произвольным показателем. Только для этих целей можно обойтись вообще без понятия корня, а сказать, что $x^{\frac m n}$ - это такое число $y$, что $y^n=x^m$. И дальше выводить все свойства из этого определения. А ещё проще (в университетском, а не школьном курсе, естественно) определить вначале $\ln x$ как интеграл от $\frac 1 x$, потом $e^x$ как функцию, обратную $\ln x$, а потом $x^y$ как $e^{y \ln x}$.
Только я хотел сказать, что раз уж в комплексном анализе (а именно о нём идёт речь в данной теме) введено понятие корня из $-1$, абсурдное с точки зрения действительного анализа, то почему бы не расширить понятие корня на произвольный показатель степени как понятие функции, обратной возведению в степень?

[Someone]

(Dave)

Да ради бога, пользуйтесь каким хотите определением. Только, поскольку ваше определение корня очень сильно не общепринятое, Вам придётся предупреждать об этом каждый раз, когда Вы им пользуетесь.
А общепринятое определение (арифметического) корня $n$-ой степени сложилось исторически.

Dave в сообщении #754018 писал(а):

в комплексном анализе (а именно о нём идёт речь в данной теме) введено понятие корня из $-1$, абсурдное с точки зрения действительного анализа

А почему, собственно говоря? Это другая область, и в ней мы можем определять понятия без оглядки на старую область. Кроме того, эти определения не противоречат друг другу.

[Dave]

Так и моё (с namhel) определение не противоречит Вашему, а расширяет его. И, с точки зрения топологии, а не алгебры, логичнее было бы, чтобы корни из единицы представляли собой замкнутое множество, т.е. всю окружность.

[Someone]

(Dave)

Dave в сообщении #754021 писал(а):

Так и моё (с namhel) определение не противоречит Вашему

Это не моё определение, а исторически сложившееся. Но я его придерживаюсь, поскольку оно общепринятое.

И не забывайте, что понятие корня $n$-ой степени является чисто алгебраическим (и по существу одинаково в действительном и комплексном случае — это в обоих случаях решение уравнения $y^n=x$, с той разницей, что в действительном случае мы для неотрицательного $x$ можем выделить единственное значение, наложив условие неотрицательности $y$, и получить однозначную функцию, а в комплексном случае это невозможно), в то время как степень с действительным показателем — это порождение математического анализа.

[namhel]

Dave в сообщении #754018 писал(а):

А ещё проще (в университетском, а не школьном курсе, естественно) определить вначале $\ln x$ как интеграл от $\frac 1 x$, потом $e^x$ как функцию, обратную $\ln x$.

Кстати, мне кажется, что определять экспоненту через ряд Тейлора много проще. Ваше определение не очень удобно для введения комплексной экспоненты.

[Dave]

А о таком понятии, как аналитическое продолжение, слышали?

[namhel]

Dave в сообщении #754964 писал(а):

А о таком понятии, как аналитическое продолжение, слышали?

Как Вы его строить будете без ряда Тейлора и без формулы Эйлера?

[Dave]

А кто сказал, что без? Формулу Эйлера можно взять как аксиому. А ряд Тейлора, если он понадобится, для действительного переменного можно вывести как следствие из того, что $f'=f$.

[namhel]

Dave в сообщении #755024 писал(а):

А кто сказал, что без? Формулу Эйлера можно взять как аксиому. А ряд Тейлора, если он понадобится, для действительного переменного можно вывести как следствие из того, что $f'=f$.

Если через формулу Эйлера, то это искусственный способ (формула Эйлера из рядов Телора легко следует, а с потолка ее взять не ясно как).

Ну а если Вы аналитическое продолжение с помощью ряда Тейлора строите, то, извините, вот Вам и определение через ряд Тейлора.

[Dave]

Не забывайте про такую чудную вещь, как интеграл по контуру. Раз уж в действительном случае можно определить для всех $x>0$ $\ln x$ как

$$\ln x=\int\limits_1^x \frac {dt} t,$$

то и в комплексном (многозначный) логарифм можно определить как

$$\ln z=\int\limits_\gamma \frac {dt} t,$$

где $\gamma$ - любой контур, соединяющий точки $1$ и $z$ и не проходящий через $0$. Непосредственный подсчёт этого интеграла показывает, что

$$\ln (e^r(\cos\varphi+i\sin \varphi))=r+(\varphi+2\pi k)i, \eqno(1)$$

где $r$ - любое действительное число, $e^r$ к этому моменту уже определено, $\varphi \in [0,2\pi)$, $k$ - любое целое число (зависит от того, как и сколько раз контур $\gamma$ обходит точку $0$). Обратная функция к таким образом определённой функции $\ln z$ уже будет однозначна и определена для любого $z \in \mathbb C$. Вот и назовём эту функцию $e^z$. Дальше можно вывести основные свойства: $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$, $(e^z)'=e^z$, а потом уже ряд Тейлора и всё остальное. В частности, формула Эйлера получается из $(1)$ при $r=0$.

[namhel]

Dave в сообщении #755271 писал(а):

Не забывайте про такую чудную вещь, как интеграл по контуру.

Годное определение. В чем-то даже красивое. Однако, в качестве определения брать функцию, которая является обратной к функции, заданной на римановой поверхности -- не самый простой способ. Студентам, которые первый раз слушают ТФКП я бы не рискнул так определить. Хотя, тем, кто знаком с ТФКП может быть интересно.

ps: Кстати, спасибо. Возьму на заметку. =)