геометрическая вероятность (множ-ва меры нуль)

[Андрей_2007]

Помогите решить задачу.
На круге радиусом 5 единиц выбирают три точки А, В, С. Какая вероятность того, что треугольник АВС прямоугольный?
Спасибо.

[Gordmit]

Внутри круга или на окружности?
Если на окружности, то, очевидно, 0.

[Андрей_2007]

Большое спасибо! У меня тот же результат.

[ИСН]

Gordmit писал(а):

Если на окружности, то, очевидно, 0.

Можно подумать, если внутри круга, то что-то другое.

[Amigo]

А почему интересно ноль? Сколько прямоугольных треугольников можно определить на окружности? Помоему бесконечно. А сколько
всего треугольников может быть на окружности? Тоже бесконечно.
Поэтому здесь имеется неопределённость бесконечность/ бесконечность. Как же Вы её разрешили в пользу нуля?

[Brukvalub]

Отвечу вопросом на вопрос: как геометрическая вероятность применяется в решении задач? Ваш вопрос показывает, что Вы этого просто не знаете.

[Amigo]

Да, я этого не знаю, не спорю. Правда слышал что то про то, что нужно вычислить меру одного множества затем другого и после найти их отношение... А вообще не знаю. Но так как? Не подскажите?

[Brukvalub]

Amigo писал(а):

нужно вычислить меру одного множества затем другого и после найти их отношение

А вот это верно. Именно мера множества точек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников, равна нулю, поскольку размерность такого множества строго меньше размерности всего конфигурационного пространства, которое соответствует всевозможным треугольникам. Думаю, именно на этих соображениях основывались авторы предыдущих сообщений.

[Amigo]

Если бы множество всевозможных прямоугольных треугольников было счетным, то тогда понятно почему эта мера была равна нулю.
Но ведь множество прямоугольных треугольников имеет мощность континуума и тут не понятно почему эта мера равна нулю.
(понятием "размерность конфигурационного пространства" - к сожалению не владею)

[Brukvalub]

Представте себе отрезок, расположенный на плоскости. Его размерность равна 1, в то время, как размерность плоскости равна 2. Плоская (двумерная) мера отрезка равна нулю, поскольку его можно покрыть прямоугольником сколь угодно малой площади, хотя и отрезок, и плоскость содержат континуум точек. Аналогично, уравнение Пифагора понижает размерность множества вершин прямоугольных тр-ков по сравнению со множеством всевозможного расположения вершин, поэтому мера множества вершин прямоугольных тр-ков будет равна 0, если мерить эту меру с помощью мероизмерения, используемого в пространстве большей размерности (как это было с отрезком и плоскостью).Только учтите, что все эти рассуждения высказаны на уровне идеи, и чтобы сделать их строгими, нужно еще немного попотеть.

[Amigo]

Вы очень понятно объяснили. Спасибо. Однако, действительно,
на прямую мне не видно: почему уравнение Пифагора понижает
размерность множества вершин прямоугольных тр-ков по сравнению со множеством всевозможного расположения вершин.

[Gordmit]

ИСН писал(а):

Gordmit писал(а):

Если на окружности, то, очевидно, 0.

Можно подумать, если внутри круга, то что-то другое.

Я всего лишь имел в виду, что для случая окружности это очевидно В момент написания сообщения мне не показалось, что во втором случае это столь же очевидно...

[Brukvalub]

Amigo писал(а):

почему уравнение Пифагора понижает
размерность множества вершин прямоугольных тр-ков по сравнению со множеством всевозможного расположения вершин.

Это достаточно тонкий вопрос, но, очень грубо говоря, если множество А задано в некотором координатном пространстве к независимыми уравнениями, то его размерность равна разности размерности пространства и числа к. Правда, мое объяснение уже очень напоминает курс высшей математики в картинках, поэтому такие объяснения пора прекращать.

[Gordmit]

Amigo писал(а):

Вы очень понятно объяснили. Спасибо. Однако, действительно,
на прямую мне не видно: почему уравнение Пифагора понижает
размерность множества вершин прямоугольных тр-ков по сравнению со множеством всевозможного расположения вершин.

Дело в том, что ограничения типа "равенства" на $n$ переменных задают некоторую поверхность в пространстве переменных, размерность которой строго меньше $n$ (опять же все на уровне идеи). А ее $n$-мерный объем равен 0, это наглядно было показано в случае отрезка и плоскости.

Но все же если не очевидно, то советую Вам проделать следующее. Взять "в лоб", и выписать условия, задающие прямоугольные треугольники на окружности. Ясно, что треугольник определяется тремя своими точками на окружности, так что можно, предварительно введя координаты на этой окружности, в качестве переменных взять $x,y,z$ - углы, соответствующие каждой из вершин треугольника. Конфигурационное пространство здесь - это трехмерный куб $0\le x,y,z<2\pi$ (нужно еще, правда, учесть, что координаты не могут быть друг другу равны); а условие, задающее среди всех треугольников прямоугольные, получается такое: $|x-y|=\pi$ (плюс еще два таких условия для x,z и y,z). В трехмерном пространстве это лишь пара плоскостей, из нашего куба она вырезает пару прямоугольников, имеющих трехмерный объем 0.

[Amigo]

Всё понятно за исключением, двух вещей:
1. Как вы определили, что условия:
|x-y|=pi
|x-z|=pi
|z-y|=pi
являются необходимыми и достаточными для того что бы описать,
множество всех возможных прямоугольных треугольников?
2. И почему в трёх мерном пространстве указанные в пункте 1) условия задают пару плоскостей? И почему именно пару, а не три плоскости?