Как логически записать, что можно и то и то?

[Dims]

Допустим, предикат "можно" означает, что допустимо (с точки зрения какой-то системы правил) совершить некоторое действие. Например

можно(снять_левый_ботинок)

означает, что допустимо снять левый ботинок.

А как быть, если правила допускают только по два действия одновременно, например, если допустимо снимать только оба ботинка вместе?

Ведь не запишешь же

можно(снять_левый_ботинок) и можно(снять_правый_ботинок)

(где "и" -- это логическое "и") ведь тогда получится, что можно снять и каждый ботинок по отдельности, а это может быть недопустимо.

Как же записать?

Нужна какая-то связка, вместо "и", которая может быть равна истине при любых значениях аргументов. Но что это за связка? Или я брежу?

[PAV]

нельзя( ( (снять правый ботинок) и не(снять левый ботинок)) или ((снять левый ботинок) и не(снять правый ботинок)))

[epros]

А так:
можно((снять левый) и (снять правый) или не(снять левый) и не(снять правый))
?

Я не знаю, есть ли в Вашей логике запрещающая модальность: нельзя() = не можно(), но если есть разрешающая, то указанная выше конструкция именно разрешает одновременные действия с ботинками. Это конечно же не означает запрещение действий с одним ботинком.

[luitzen]

Ну всё, ввожу обозначения/сокращения.

$Pp$ и $Op$ будет обозначать «можно $p$» и «обязательно $p$» соответственно; $l$ и $r$ — «снять левый ботинок» и «снять правый ботинок» соответственно.

Pav отвечает на вопрос так: $\neg P(l \& \neg r \lor \neg l \& r)$.
Dims отвечает на вопрос вот так: $P(l \& r \lor \neg l \& \neg r)$.

Если считать, что $ (l \& \neg r \lor \neg l \& r) \equiv \neg (l \& r \lor \neg l \& \neg r)$ (что не обязательно), то это будет иметь отношение к вопросу о истинности $\neg Pp \equiv P\neg p$. Это одно из «контринтуитивных» положений многих деонтических систем (см. далее).

На вопрос Dims’а отвечу вот как: $P(l \& r)$.
«Дистрибутивности вправо» $P$ относительно $\&$ я Вам не обещаю, и как из последней формулы Вы будете вытаскивать $Pl$ или $Pr$ — непонятно :) .

Вообще, речь идёт, по-видимому, о деонтических модальностях. В них всё хуже, чем в алетических (где, к примеру, указанная дистрибутивность чаще всего имеет место). И о тех, и о других хорошо рассказывается, к примеру, во втором томе “Handbook of philosophical logic”. Там же есть про временные модальные системы, ибо «одновременно» можно интерпретировать и не как конъюнкцию :)

[Dims]

Хм. Дело в том, что "снять левый ботинок" и "снять правый ботинок" -- это не булевы переменные. То есть, это не высказывания, которые либо истинны, либо ложны. Это объекты некоторого другого класса (допустим, класса "глаголы").

Поэтому, логические связки "не", "и" и так далее напрямую применять к этим объектам нельзя.

Наверное, можно согласиться с тем, что "не можно(х) = нельзя(х) для любого х".

Точно так же, нельзя согласиться с тем, что тут дело в какой-то временнОй составляющей. Потому что можно переформулировать задачу иначе.

Пусть у нас есть коробки-множества. В коробках могут лежать различные действия, например, "снять левый ботинок", "снять правый ботинок" и так далее. Предикат "можно" тогда будет означать, что среди наших кубиков есть кубик, в котором лежит ТОЛЬКО аргумент предиката.

То есть,

можно(снять левый ботинок)

означает, что среди кубиков существует кубик, в котором лежит ТОЛЬКО такое действие.

Как с помощью такого предиката записать утверждение, что существует кубик, в котором лежат два действия? Разумеется, одиночные предикаты в случае существования такого кубика не обязательно верны (если нет кубиков, в которых нужные действия лежат по отдельности).

[luitzen]

Dims писал(а):

Хм. Дело в том, что "снять левый ботинок" и "снять правый ботинок" -- это не булевы переменные. То есть, это не высказывания, которые либо истинны, либо ложны. Это объекты некоторого другого класса (допустим, класса "глаголы").

Поэтому, логические связки "не", "и" и так далее напрямую применять к этим объектам нельзя.

Ну да, конечно. Полагается переформулировать $l$ и $r$ во что-то «пропозициональное». Эта переформулировка часто очень искуственна («Dims снял левый ботинок»).

Dims писал(а):

Пусть у нас есть коробки-множества. В коробках могут лежать различные действия, например, "снять левый ботинок", "снять правый ботинок" и так далее. Предикат "можно" тогда будет означать, что среди наших кубиков есть кубик, в котором лежит ТОЛЬКО аргумент предиката.

То есть,

можно(снять левый ботинок)

означает, что среди кубиков существует кубик, в котором лежит ТОЛЬКО такое действие.

Как с помощью такого предиката записать утверждение, что существует кубик, в котором лежат два действия? Разумеется, одиночные предикаты в случае существования такого кубика не обязательно верны (если нет кубиков, в которых нужные действия лежат по отдельности).

Ничего не понял. Вроде как Вы предлагаете некую семантику с использованием каких-то «предикатов переменной местности»… Утром перечитаю.

[epros]

Честно говоря, Dims, я тоже Вас плохо понял.

Ваша задача ведь формализовать семантику естественного языка, в котором употребляются формулировки, разрешающие или запрещающие действия, я правильно понял? Тогда формулы языка, выражающие факт действия (типа "Субъект $S$ выполняет действие $A$ над объектом $O$") должны трактоваться как высказывательные формулы, т.е. с формальной точки зрения их действительно нужно интерпретировать как пропозициональные переменные. А это значит, что к ним можно (и нужно) применять логические связки.

Что касается оборотов "можно" или "нельзя", то они обычно формализуются не как предикаты, а как модальные операторы. Причем, для модальности $M$ часто $\neg M(x) \ne M (\neg x)$. Обычно модальность $D(x) \equiv \neg M(\neg x)$ называется "двойственной" к модальности $M$. Скажем, к разрешающей модальности ("можно") двойственной является предписывающая модальность ("нужно"). Вам может показаться, что в естественном языке обороты "можно", "нельзя", "нужно" и "не нужно" применяются к действиям. Но это не совсем так. Например, можно записать разрешающую формулу для субъекта $S_1$: можно(субъекту $S_1$ снимать левый ботинок), и в то же время запретить то же самое действие другому субъекту: нельзя(субъекту $S_2$ снимать левый ботинок). Если же Вы хотите применить модальность именно к действию, Вам нужно просто применить к субъектам квантор всеобщности: $\forall S$ : можно(субъекту $S$ снимать левый ботинок).

[Dims]

А что такое модальные операторы? Если они действуют на не-булевы объекты и возвращают булевы, то почему это не предикаты?

[epros]

Dims писал(а):

А что такое модальные операторы? Если они действуют на не-булевы объекты и возвращают булевы, то почему это не предикаты?

Они как раз действуют на "булевы объекты", точнее - на высказывательные формулы. А предикаты - нет. Кстати то, что Вы отнесли к "классу глаголов" - вот это как раз одна из разновидностей предикатов. Например, высказывание "Вася снимает левый ботинок" можно записать в предикатной форме: снимает(Вася, левый ботинок). Здесь "снимает" - двуместный предикат, "Вася" - значение его субъектной переменной, а "левый ботинок" - значение его объектной переменной.

Модальности применяются к высказывательным формулам, но не к логическим значениям, т.е. их не нужно путать с логическими функциями (унарных логических функций всего четыре - тождественные истина и ложь, тождественая функция и отрицание, а модальностей может быть неограниченно много). Т.е. модальность является функционалом, заданным на множестве высказывательных формул (поскольку высказывательная формула - это логическая функция от нескольких предметных переменных, иначе говоря - предикат). В некотором смысле модальности "расширяют" двузначную логику. Например, введя модальность "можно", мы вместо двух логических значений высказывательной формулы, оценивающих её "по факту" как "истина" или как "ложь", получаем дополнительные четыре логических значения: "возможно", "невозможно", "необходимо" и "возможно не".

[luitzen]

epros писал(а):

Если же Вы хотите применить модальность именно к действию, Вам нужно просто применить к субъектам квантор всеобщности.

Epros, модальная логика предикатов — это скорее проект, чем реальность; скорее эскиз теории, чем сама теория. В известных мне системах в больших количествах выводятся всякие «контринтуитивные» формулы, а «интуитивно ясные» — отнюдь не всегда.

epros писал(а):

Они как раз действуют на "булевы объекты", точнее - на высказывательные формулы.

Намного точнее. И «чисто пропозициональная» часть, и сама система могут иметь существенно «небулеву» семантику.

epros писал(а):

…получаем дополнительные четыре логических значения: "возможно", "невозможно", "необходимо" и "возможно не".

А как насчёт «возможно, что невозможно» и т. п. ? Проблему редукции модальностей можно решать по-разному.
Отождествлять «имена модальностей» с «истинностными значениями» не следует; некоторым естественным образом ассоциировать те и другие удаётся лишь в избранных системах.

2 Dims: если с онглийским у Вас сложности, то можете почитать Фейса.

[epros]

luitzen писал(а):

epros писал(а):

Если же Вы хотите применить модальность именно к действию, Вам нужно просто применить к субъектам квантор всеобщности.

Epros, модальная логика предикатов — это скорее проект, чем реальность; скорее эскиз теории, чем сама теория. В известных мне системах в больших количествах выводятся всякие «контринтуитивные» формулы, а «интуитивно ясные» — отнюдь не всегда.

Я не претендую на исчерпывающее описание всех возможных формализмов модальных логик, я просто указываю на один из возможных подходов.

luitzen писал(а):

epros писал(а):

Они как раз действуют на "булевы объекты", точнее - на высказывательные формулы.

Намного точнее. И «чисто пропозициональная» часть, и сама система могут иметь существенно «небулеву» семантику.

Не буду спорить. Я просто указал на один из способов как "подружить" модальности с булевой семантикой.

luitzen писал(а):

epros писал(а):

…получаем дополнительные четыре логических значения: "возможно", "невозможно", "необходимо" и "возможно не".

А как насчёт «возможно, что невозможно» и т. п. ? Проблему редукции модальностей можно решать по-разному.
Отождествлять «имена модальностей» с «истинностными значениями» не следует; некоторым естественным образом ассоциировать те и другие удаётся лишь в избранных системах.

Да, можно настроить ещё любое количество этажей из "модальностей к модальностям" и разрешать проблему редукции любым понравившимся способом. А можно не строить и просто договориться, что модальности могут применяться только к формулам логики высказываний и не могут применяться к формулам с модальностями.

luitzen писал(а):

2 Dims: если с онглийским у Вас сложности, то можете почитать Фейса.

Я бы тоже посмотрел, но ... "Скачать книгу с нашего сайта нельзя". Вряд ли я в ближайшее время найду её где-то в другом месте.

[Dims]

epros писал(а):

Я бы тоже посмотрел, но ... "Скачать книгу с нашего сайта нельзя". Вряд ли я в ближайшее время найду её где-то в другом месте.

Там есть eD2k ссылка

Добавлено спустя 4 минуты:

Я так понял, что модальности действуют на формулы как бы символически, не вычисляя их значения?

Понятно. Нет, мне это не подходит.

Я хочу понять саму суть, почему именно в понимание "можно" как некоего предиката не срабатывает "и" и хочу потом _заставить_ его срабатывать.

[epros]

Dims писал(а):

Там есть eD2k ссылка

А что мне с ней делать?

Dims писал(а):

Я так понял, что модальности действуют на формулы как бы символически, не вычисляя их значения?

Как это "символически"? Модальность изменяет "смысл" высказывания, т.е. отношение говорящего к содержанию высказывания. Если исходное высказывание (аргумент модального оператора) было "фактологическим", то результат применения модального оператора - это высказывание в определённой модальности, не обязательно разрешающей или предписывающей, а в любой другой, определяющей контекст применения высказывания. Например, могут быть модальности времени ("когда-либо", "в данный момент", "скоро", "давно" и т.п.), модальности места ("где-либо", "тут", "там"), модальности отношения говорящего ("по-моему", "я верю что") и практически любые другие.

Dims писал(а):

Понятно. Нет, мне это не подходит.

Я хочу понять саму суть, почему именно в понимание "можно" как некоего предиката не срабатывает "и" и хочу потом _заставить_ его срабатывать.

Непонятно. Почему "не срабатывает"? И что значит "заставить его срабатывать"?

Высказывания о возможности - это в принципе такие же высказывания, как и высказывания о факте. Почему Вы считаете, что их запрещено объединять по "и"? Это, конечно, определяется тем логическим формализмом, который Вы примете, но какой смысл принимать формализм, запрещающий объединение высказываний о возможности по "и"?

Или Вы хотите сделать из "можно" именно предикат? А какой смысл? Высказывательная формула, к которой Вы применяете "можно", это уже предикат. Вы же пытаетесь трактовать её как предметную переменную, которую можно подставить в другой (одноместный) предикат.

[Dims]

epros писал(а):

Dims писал(а):

Там есть eD2k ссылка

А что мне с ней делать?

Если это вопрос не риторический, то её надо отдать программе-клиенту пиринговой сети eDonkey ("осёл"), которую можно скачать тут: http://www.emule-project.net/home/perl/general.cgi?l=34

Как правило, для работы с этой программой требуется "толстый" интернет канал и качать она может неделями и месяцами.

Цитата:

Высказывания о возможности - это в принципе такие же высказывания, как и высказывания о факте. Почему Вы считаете, что их запрещено объединять по "и"?

Ну да, можно, конечно. Но смысл получается не тот, что мне хочется.

[Macavity]

epros писал(а):

Dims писал(а):
Там есть eD2k ссылка

А что мне с ней делать?

Мне кажется проще через сервер poiskknig: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%A4%D0%B5%D0%B9%D1%81+%D0%A0.+%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F+%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0&network=1