Бурбаки vs Арнольд

[shust]

Lion писал(а):

Я говрю, что математические результаты существуют абстрактно, вне зависимости от того, осознаем мы их, или нет. Было время, когда люди не знали, что есть число -1. Но ведь это не означает, что такого числа тогда не существовало, а потом оно взяло и появилось! Оно всегда было, просто люди этого не осознавали!

Мне кажется что число -1 появилось тогда, когда оно было введено некоторым человеком для описания своих исследований и именно в такой форме, которая нам сейчас привычна.
(а не, например, в такой форме: ^#)

Lion писал(а):

Пауль Эрдеш писал(а):
У Бога есть бесконечная Книга, в которой собраны все теоремы математики и самые лучшие их доказательства. И если Он благоволит кому-нибудь, то на мгновение показывает ему эту книгу.

Это чисто метафорическое высказывание. Неоткрытые теоремы существуют лишь виртуально и сохраняют свой такой статус до тех пор, пока не найдется человек который откроет их реально и представит в форме, понятной другим людям.

[Brukvalub]

shust писал(а):

Мне кажется что число -1 появилось тогда, когда оно было введено некоторым человеком для описания своих исследований и именно в такой форме, которая нам сейчас привычна.

Нет, еще Кронекер знал, что натуральные числа подарены человеку Творцом, а вот все остальные числа - дело рук человеческих.

[shust]

Brukvalub писал(а):

Нет, еще Кронекер знал, что натуральные числа подарены человеку Творцом, а вот все остальные числа - дело рук человеческих

Откуда он знал? Может быть он так думал? Ну, другие по-другому думают.

[Котофеич]

shust писал(а):

Brukvalub писал(а):

Нет, еще Кронекер знал, что натуральные числа подарены человеку Творцом, а вот все остальные числа - дело рук человеческих

Откуда он знал? Может быть он так думал? Ну, другие по-другому думают.

Мало ли что другие "думают". Что думал Кронекер, это интересно, а что думают другие
это не интесно

[Lion]

shust писал(а):

Мне кажется что число -1 появилось тогда, когда оно было введено некоторым человеком для описания своих исследований и именно в такой форме, которая нам сейчас привычна. (а не, например, в такой форме: ^#)

Неважно, в какой форме мы это число записываем! Я же говорю, что оно существует абстрактно, вне зависимости от того, как мы его записываем! Число 5, например, в римской нумерации выглядит как "V" и обе формы записи вполне привычны.
Кроме того, математические формулы появляются при описании реальных (например, физических) законов. Закон Ньютона утверждает, что $F=mg$. Что же получается, когда человек не знал умножения и константы $g$, не было и силы тяжести

[shust]

Lion писал(а):

Неважно, в какой форме мы это число записываем!

Полностью согласен!
Я лишь хотел сказать, что числа -1 не существовало, пока человек его не ввел в ходе своих исследований.

Добавлено спустя 13 минут 30 секунд:

Lion писал(а):

Закон Ньютона утверждает, что $F=mg$. Что же получается, когда человек не знал умножения и константы , не было и силы тяжести

Сила тяжести была (и, надеюсь, будет) всегда, однако только в записи $F=mg$ с использованием умножения и константы получила свое формальное представление, как говорят математическую модель.

[lofar]

Lion писал(а):

Я говрю, что математические результаты существуют абстрактно, вне зависимости от того, осознаем мы их, или нет.

Стало быть, Вы исповедуете объективный идеализм. Что же, Вы в хорошей компании, с Вами согласились бы Платон, Гегель и многие замечательные математики (в частности те, чьи высказывания здесь приводились). Подобные воззрения поддерживает большинство отечественных физиков и математиков "старой закалки". Владимир Игоревич Арнольд яркий их представитель.

Имеются и другие точки зрения. Некоторые считают, что сущность возникает только тогда, когда она осмыслена, другие идут дальше и говорят, что нечто закрепляется в своем существовании, только будучи записанным (все есть текст). Для иных даже натуральный ряд не является абсолютом (зесь уже обсуждались статьи П. К. Рашевского и В. А. Успенского). Есть оригиналы, которые полагают, что какое-нибудь большое число (например $2^{2^{32582657}-1}-1$) не является ни простым ни составным до тех пор пока это не доказано, а до той поры число находится в некотором состоянии неопределенности (ср. принцип Гейзенберга).

Имеется мнение (которое близко и мне), что математика психологичнее, чем принято обычно считать. Согласно этой точке зрения, "доказать", значит убедить себя, что ты доказал. "Доказательство" возникает тогда, когда математик чувствует, что в его рассуждениях нет огрехов, и что это ощущение может быть передано другим математикам. В этом смысле, математическая "строгость" --- дело личного вкуса: что кажется "строгим" то и "строго". При этом, как и другие предметы вкуса, "строгость" определяется современной модой: что было строгим для Эйлера, нам строгим уже не кажется.

Руст писал(а):

Lofar, я не это имел в виду. Пенроуз обсуждает, что системы и правила лингвистики не берутся с потолка (непротиворечивых грамматик может оказатьсяом много), а как бы проектируются в нашем сознании из реального мира.

Да, это более глубокая мысль. Мне видится, что это мнение подтверждает представление о том, что человек создает математику (не исключая формальных языковых систем) по своему вкусу.

[Котофеич]

lofar писал(а):

Имеется мнение (которое близко и мне), что математика психологичнее, чем принято обычно считать. Согласно этой точке зрения, "доказать", значит убедить себя, что ты доказал. "

Убедить себя если хорошенько напрячься, может каждый. В первую очередь это относится к физикам. Если они сами себя уже в чем то убедили, то можете быть уверены что это надолго и доказывать им что это глупости совершенно бесполезно. Ну убедить математиков, обычно намного проще. Для этого нужно написать страниц 200-300 и все хорошенько разжевать. Многим просто лень этим заниматься. Ну например Гротендику, в конце концов, это надоело и он все послал...

[Brukvalub]

lofar писал(а):

Имеется мнение (которое близко и мне), что математика психологичнее, чем принято обычно считать. Согласно этой точке зрения, "доказать", значит убедить себя, что ты доказал. "Доказательство" возникает тогда, когда математик чувствует, что в его рассуждениях нет огрехов, и что это ощущение может быть передано другим математикам. В этом смысле, математическая "строгость" --- дело личного вкуса: что кажется "строгим" то и "строго". При этом, как и другие предметы вкуса, "строгость" определяется современной модой: что было строгим для Эйлера, нам строгим уже не кажется.

Если говорить об уровне строгости доказательств в математике, то этот уровень весьма неоднороден и сильно зависит от области математики, причем, как правило, чем больше в той или иной области геометрии, тем меньше в ее доказательствах строгости. Несколько раньше мне по роду своей деятельности пришлось разбираться в достижениях У. Тёрстона со-товарищи в строении трехмерных многообразий. Так вот, читал я их труды с большим трудом и был постоянно шокирован методикой доказательства теорем практически "на рисунках". Весь мой опыт изучения и преподавания классической математики восставал и негодовал при виде такого "уровня строгости". А потом - ничего, притерпелся. Пришлось перевоспитаться и не лезть со своим уставом в чужой монастырь. Так что приемлемый уровень строгости доказательств - явление социальное и определяется в каждый момент времени традицией, господствующей в социуме математиков, занимающихся определенной областью математики. А сама эта традиция, по-видимому, вырабатывается из соображений удобства: если в геометрии принять тот уровень строгости, который господствует в анализе, алгебре или теории чисел, то мало чего будет признано доказанным.

[maxal]

Lion писал(а):

Вот, например, интересная цитата:

Пауль Эрдеш писал(а):

У Бога есть бесконечная Книга, в которой собраны все теоремы математики и самые лучшие их доказательства. И если Он благоволит кому-нибудь, то на мгновение показывает ему эту книгу.

Вот выдержки из этой Книги: Proofs from the Book

[AndAll]

Lion писал(а):

Вот, например, интересная цитата:

Пауль Эрдеш писал(а):

У Бога есть бесконечная Книга, в которой собраны все теоремы математики и самые лучшие их доказательства. И если Он благоволит кому-нибудь, то на мгновение показывает ему эту книгу.

Известно, что не всегда первое найденное кем-либо верное доказательство какой-нибудь теоремы является самым лучшим, а скорее даже наоборот.
Тогда возникает такой вопрос: есть ли в этой книге и все другие возможные доказательства, а не только самые лучшие, или такие доказательства математики находят вопреки воли Бога? И третье "хорошее" доказательство лучше ли первого, но не очень хорошего?

maxal писал(а):

Вот выдержки из этой Книги: Proofs from the Book

Кто сегодня Бог? Как заглянуть в эту книгу? Как увидеть хотя бы то, что Бог уже отдал Человеку? Или у него есть "любимчики"?

[Macavity]

maxal писал(а):

Lion писал(а):

Вот, например, интересная цитата:

Пауль Эрдеш писал(а):

У Бога есть бесконечная Книга, в которой собраны все теоремы математики и самые лучшие их доказательства. И если Он благоволит кому-нибудь, то на мгновение показывает ему эту книгу.

Вот выдержки из этой Книги: Proofs from the Book

maxal, интересная книжка. Спасибо за ссылку...

[Белков Петр]

Lion писал(а):

Я говрю, что математические результаты существуют абстрактно, вне зависимости от того, осознаем мы их, или нет. Было время, когда люди не знали, что есть число -1. Но ведь это не означает, что такого числа тогда не существовало, а потом оно взяло и появилось! Оно всегда было, просто люди этого не осознавали!

Это как раз и означает, что числа -1 не существует.

[Lion]

Да ну! Допустим, я знаю, что такое когомологии алгебр Ли симметрий распределения Картана на многообразии бесконечных джетов (ну загнул ), а Вы --- нет. И что получается --- эти когомологии существуют, или нет

[Котофеич]

Lion писал(а):

Да ну! Допустим, я знаю, что такое когомологии алгебр Ли симметрий распределения Картана на многообразии бесконечных джетов (ну загнул ), а Вы --- нет. И что получается --- эти когомологии существуют, или нет

Нет не существуют как и все остальное. Это только следствие из аксиомы существования стандартноой модели для ZFC.