Выпуклый компакт

[xmaister]

Докажите, что каждый выпуклый компакт в $\mathbb{R}^n$- выпуклая оболочка своих крайних точек.

[sopor]

А крайние точки - это точки границы?

[xmaister]

sopor в сообщении #743748 писал(а):

А крайние точки - это точки границы?

Не все, иначе было бы не интересно. Точку $x\in\partial A$ выпуклого $A\subset\mathbb{R}^n$ называют крайней, если $x=\frac{y+z}{2},y,z\in A\Rightarrow y=z$.

[мат-ламер]

Теорема Крейна-Мильмана. См. журнал Квант, 2003, N4. В.М. Тихомиров. Геометрия выпуклости.

(Оффтоп)

Я извиняюсь за ссылку. Я думал, что это вопрос в ветке "Помогите решить, разобраться"

[xmaister]

Тогда вот еще задачка из схожей степи: Пусть $f:A\to\mathbb{R}$- выпуклая и непрерывная функция, $A$- компакт (не обязательно выпуклый!). Доказать, что $f$ достигает своего максимума хотя бы в одной крайней точке.

[Oleg Zubelevich]

xmaister в сообщении #744045 писал(а):

Тогда вот еще задачка из схожей степи: Пусть $f:A\to\mathbb{R}$- выпуклая и непрерывная функция, $A$- компакт (не обязательно выпуклый!). Доказать, что $f$ достигает своего максимума хотя бы в одной крайней точке.

вупуклость $f$ не нужна

мат-ламер в сообщении #743798 писал(а):

Теорема Крейна-Мильмана.

вот интересно, а без леммы Цорна можно в конечномерном случае?

[sup]

В конечномерном случае лемма Цорна не нужна. Применяем индукцию по размерности.
Рассмотрим замкнутую выпуклую оболочку крайних точек $K_1$. Если найдется точка $x \notin K_1$, то найдется линейный функционал, принимающий максимальное значение вне $K_1$. (Здесь можно обойтись без т. Хана-Банаха. Достаточно опустить перпендикуляр из $x$ на $K_1$. Этот перпендикуляр и определит нужный функционал.) Множество, на котором функционал принимает максимальное значение замкнуто, выпукло и имеет меньшую размерность. Далее индукция.

[xmaister]

Oleg Zubelevich в сообщении #744592 писал(а):

вупуклость $f$ не нужна

Мне кажется, что нужна. А как Вы рассуждали?

-- 10.07.2013, 18:07 --

По крайней мере я не знаю как без выпуклости обойтись.

[xmaister]

Для выпуклого случая здача является прямым следствием теоремы Крейна-Мильмана.

[g______d]

xmaister в сообщении #744892 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #744592 писал(а):

вупуклость $f$ не нужна

Мне кажется, что нужна. А как Вы рассуждали?

Образ компакта – компакт, поэтому $f$ ограничена. Пусть $M=\sup f$. Если он не достигается, то функция $\frac{1}{M-f(x)}$ непрерывна и неограничена, что приводит к противоречию.

UPD: Прошу прощения, пропустил слово "крайней".

-- 10.07.2013, 20:11 --

Тогда непонятно, чем плоха функция $1-x^2$ на отрезке $[-1;1]$ (имеется в виду к фразе "выпуклость не нужна").

[xmaister]

g______d в сообщении #744924 писал(а):

Тогда непонятно, чем плоха функция $1-x^2$ на отрезке $[-1;1]$ (имеется в виду к фразе "выпуклость не нужна").

Действительно, как-то я протупил.
Предложу еще задачку, которою самому недавно предложили решить, но так и не удалось: Пусть $A\subset \mathbb{R}^n$- выпуклый компакт. Назовем стабилизатором множества $Y\subset \mathbb{R}^n$- подгруппу $\mathrm{St}(Y)=\{g\in\mathrm{Isom}(\mathbb{R}^n)|g(Y)=Y\}$. Докажите, что стабилизаторы $A$ и множества всех его крайних точек совпадают.