Закон сохранения силовых линий

[Munin]

"Закон сохранения" и "уравнение непрерывности" для линий электрического и магнитного поля.

ВСЕ МЫ знаем (я рассчитываю на это) релятивистскую картину электромагнитного поля: тензор поля $F_{\mu\nu}=(\mathbf{E},\mathbf{H}),$ вектор тока $j^\mu=(\rho,\mathbf{j}),$ преобразования Лоренца

$$F'_{\mu\nu}=\Lambda_\mu{}^\rho \Lambda_\nu{}^\sigma F_{\rho\sigma},\quad j'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu j^\nu,\qquad \text{где}\quad g_{\mu\nu}\Lambda^\mu{}_\rho\Lambda^\nu{}_\sigma=g_{\rho\sigma},\quad\operatorname{det}\Lambda=+1,\quad\Lambda^0{}_0\geqslant+1,$$

уравнения

$$f^\mu=F^{\mu\nu}u_\nu\qquad\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu F_{\rho\sigma}=0\quad\partial_\mu F^{\mu\nu}=4\pi j^\nu\qquad\partial_\mu j^\mu=0$$

$$T^{\mu\nu}=\dfrac{1}{4\pi}\Bigl(-F^{\mu\rho}F^\nu{}_\rho+\dfrac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}\Bigr)\quad\partial_\mu T^\mu_\nu=-F_{\nu\rho}j^\rho$$

и те же формулы в трёхмерных обозначениях.

В ТО ЖЕ время, знакомимся мы с электродинамикой ещё в школе на языке "силовых линий" (линий поля), и некоторые явления объясняются именно на этом языке. Потом приходится состыковывать картину линий и картину векторных/тензорных полей. По большей части, это довольно просто, если использовать математические результаты - теоремы Гаусса и Стокса, и разложение Гельмгольца (любое векторное поле раскладывается в сумму безроторного и бездивергентного). При этом, соблюдается разделение физических и математических утверждений, типа:

М. (математическая теорема Гаусса) Линии поля начинаются на источниках, и дальше продолжаются непрерывно, пересекая любую поверхность:

$$\int\limits_V\operatorname{div}\mathbf{E}\,dV=\oint\limits_{S(V)}(\mathbf{E}\mathbf{n})dS.$$

Ф. (физическая теорема Гаусса) Источниками электрического поля являются заряды и только заряды, а там, где нет зарядов, линии поля не начинаются и не заканчиваются:

$$\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho,$$
или эквивалентно (в силу (М.)),

$$\oint\limits_{S(V)}(\mathbf{E}\mathbf{n})dS=4\pi Q(V)\equiv 4\pi\int\limits_V\rho\,dV.$$

НО есть аспект, в котором такое сопоставление не очевидно для студента, и недостаточно прояснено в учебниках (по крайней мере, тех, которые я читал). Это ситуация движущихся линий поля. Стандартное пояснение к линиям поля таково: линии поля проводятся так, чтобы их направление совпадало с направлением вектора поля в точке (или в достаточно малой области, где поле можно считать однородным), а плотность линий поля совпадала с величиной вектора поля. Здесь ничего не говорится о движении линий поля. Можно себе представить, что для каждого отдельного момента времени $t$ картина линий поля восстанавливается "заново" из векторного поля, и никак не связана с картиной линий поля в предыдущий момент времени. Однако, движение линий поля используется при объяснении закона электромагнитной индукции (и аналогично, при объяснении тока смещения, но отложим это). А именно, закон электромагнитной индукции иногда формулируется в таком виде:

Электродвижущая сила (ЭДС) в участке провода равна количеству линий магнитного поля, пересекающих этот провод в единицу времени. (ИУ)

Более осторожная формулировка:

Электродвижущая сила (ЭДС) в замкнутом контуре равна изменению количества линий магнитного поля, проходящих через этот контур, в единицу времени. (ИК)

Очевидно, что более осторожная формулировка оставляет у студентов меньше вопросов, но позволяет решать меньше задач - только задачи с замкнутыми контурами, и даже в них - вызывает затруднения в случае сложных контуров, как в теме «Неконсервативность электрического поля». В то же время, первая формулировка привлекает своей "локальностью".

ИТАК, что хотелось бы получить? Хорошо определённую математическую величину (на допустимом в физике уровне строгости), позволяющую чётко сформулировать закон индукции из языка линий поля, и без затруднений перейти от него к точным векторным/тензорным формулировкам. Математические соотношения для этой величины, достаточные для этой задачи. И наконец, собственно все эти формулировки, с разделением фактов (М) и (Ф).

ПРЕДЛАГАЮ ввести "скорость движения линий поля" - векторное поле $\mathbf{v},$ такое что линия поля $d\pmb{\ell}$ считается смещающейся перпендикулярно самой себе за единицу времени на $\mathbf{v}\sin(\widehat{\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}}).$ Скорость движения линий поля дефинирована, самое лучшее, с точностью до слагаемого, параллельного линии поля. Пару $(\mathbf{v},d\pmb{\ell})$ удобно рассматривать как бивектор (площадку, натянутую на пару векторов, заданную площадью и ориентацией), или в трёхмерном случае - как векторное произведение $[\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}].$ Эта величина задаёт "ток линий поля", имеющий физический смысл (измеримый) как ЭДС, действующая на участок провода $d\mathbf{L},$ пересекаемый этим током линий поля:

$$d\mathcal{E}=([\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]d\mathbf{L})\equiv\langle\mathbf{v},d\pmb{\ell},d\mathbf{L}\rangle.$$

Другой вариант измерения этой величины - наблюдать за заряженными частицами, они должны получать ускорение перпендикулярно току линий поля (перпендикулярно и самой линии поля, и её скорости). Очевидно, это то же самое ускорение, которое сообщается заряженной частице индуцированным электрическим полем, и не требует отдельного учёта, если мы вычисляем индуцированное электрическое поле по уравнениям Максвелла. Но предлагаемый аппарат должен позволить вычислить это ускорение и без такого вычисления.

ДЛЯ того, чтобы этот математический аппарат оказался работоспособен, необходимо научиться вводить поле скорости $\mathbf{v}$ из физических условий, и вывести закон сохранения линий поля, пересекающих данный (произвольно выделенный в пространстве) контур (записана версия для неподвижного контура):

$$\dfrac{d\Phi_S}{dt}=\dfrac{d}{dt}\int\limits_S(d\pmb{\ell}\,\mathbf{n})dS=-\oint\limits_{L(S)}([\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]d\mathbf{L}),$$

или то же в дифференциальном виде (уравнение непрерывности для тока линий поля):

$$\dfrac{d}{dt}d\pmb{\ell}=-\lim_{S\to 0}\oint\limits_{L(S)}([\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]d\mathbf{L}).$$

Этот закон необходим для связи между собой формулировок (ИУ) и (ИК).

[Munin]

Дифференциальный оператор

$$\lim_{S\to 0}\oint\limits_{L(S)}([\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]d\mathbf{L})$$

можно представить себе как "дивергенцию бивектора", если дивергенцию понимать как операцию $\mathop{\star}\mathop{\,\!d}\mathop{\star}$ (где $\mathop{\star}$ - звёздочка Ходжа). На языке векторных операций, это будет

$$\operatorname{rot}[\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}],$$

и переход от интегральной к дифференциальной форме происходит по закону Стокса - математическое утверждение (М).

[myhand]

Munin в сообщении #740392 писал(а):

НО есть аспект, в котором такое сопоставление не очевидно для студента, и недостаточно прояснено в учебниках (по крайней мере, тех, которые я читал). Это ситуация движущихся линий поля.

Думаю, эта "ситуация" - предельно ясна. "Движущиеся линии поля" - совершенно безнадежная концепция в релятивистской теории, вот на ней и не заостряют внимания (даже в ФЛФ, помнится, есть довольно очевидные аргументы в пользу этого). Нет мальчика.

[Munin]

myhand в сообщении #740762 писал(а):

"Движущиеся линии поля" - совершенно безнадежная концепция в релятивистской теории

Разумеется. Однако, многим тензора поля и релятивистской теории не дают. А вне неё, есть недоговорённость: внутри контура $\operatorname{rot}\mathbf{E}\ne 0,$ но как именно распределена $\mathbf{E}_\text{индукции}$ по контуру - не сказано. Или у вас есть в кармане однозначное решение?

[Theoristos]

Тут забавен случай появления и исчезновения поля вообще. Как при движении мимо неподвижного заряда.

[Munin]

Вот оно не просто появляется и исчезает, а откуда-то приходит, и куда-то уходит, что сия абстракция и призвана отобразить.

Я всё не могу понять, поле бивекторов $(\mathbf{v},d\pmb{\ell})$ восстанавливается однозначно или не однозначно, и из каких данных. Если мы задаём движение источников магнитного поля, то должно быть однозначно. Но такая информация редко доступна, а чаще мы имеем максвелловские поля и их производные на границе области.

[myhand]

Munin в сообщении #740778 писал(а):

Разумеется. Однако, многим тензора поля и релятивистской теории не дают.

Тогда дают векторный анализ, урчп и проч. А формализм, который заведомо лажает - лучше забыть и гнать ссаной тряпкой, начиная со школьных учебников...

[Munin]

Понятно. Вы не любите силовых линий. От вас помощи не жди.

А я люблю. Они соответствуют вектору поля. Они соответствуют ТЭИ. Ничего, "заведомо лажающего", в них нет. Так что позвольте мне этой задачей поинтересоваться.

[myhand]

Munin в сообщении #741074 писал(а):

Они соответствуют ТЭИ.

Они попусту не могут соответствовать чему-то в релятивистской физике.

Munin в сообщении #741074 писал(а):

Так что позвольте мне этой задачей поинтересоваться.

Да пожалуйста. Просто не расчитывайте на содержательный результат, исключая давно известный отрицательный...

[Munin]

myhand в сообщении #741089 писал(а):

Они попусту не могут соответствовать чему-то в релятивистской физике.

Я вам это уже демонстрировал, вы запамятовали. Возьмём поле $F_{\mu\nu}=(E_x\mathbf{i},0).$ Для него силовые линии понятно как расположены. Считаем ТЭИ: $T^{00}=-T^{11}=T^{22}=T^{33}=W=E_x^2/8\pi.$ Итого, полю соответствует натяжение в направлении силовых линий, и давление в поперечном направлении.

myhand в сообщении #741089 писал(а):

Да пожалуйста. Просто не расчитывайте на содержательный результат, исключая давно известный отрицательный...

Моя цель здесь - результат методический, а не новое слово в теории поля per se.

Собственно, рассматривал помещение темы в "Вопросы преподавания", но поскольку поначалу не был уверен в некоторых аспектах (и сейчас не уверен, но в меньшем количестве), то обратился за помощью в их допостроении. Жаль, что вы ничего сказать не хотите.

[myhand]

Munin в сообщении #741095 писал(а):

Я вам это уже демонстрировал, вы запамятовали. Возьмём поле $F_{\mu\nu}=(E_x\mathbf{i},0).$ Для него силовые линии понятно как расположены. Считаем ТЭИ: $T^{00}=-T^{11}=T^{22}=T^{33}=W=E_x^2/8\pi.$ Итого, полю соответствует натяжение в направлении силовых линий, и давление в поперечном направлении.

Не вижу никакой демонстрации. Ну "определили" вы в одной ИСО некоторого крокодила, для одной конкретной задачи. И што?

Фейнмана-то посмотрели? :)

[Munin]

myhand в сообщении #741143 писал(а):

Фейнмана-то посмотрели? :)

Тридцать раз, ещё в детстве.

myhand в сообщении #741143 писал(а):

Не вижу никакой демонстрации.

Ну, больше я ничем помочь не могу. Давайте в этой теме диалог закончим? Мне всё-таки задача интересна.

[Утундрий]

Может некоторым образом квантонУть? Вон в классике $dq dp$ практически какие угодно, а в квантАх - грубо говоря порциями.

[Munin]

По вот этому определению:

Munin в сообщении #740392 писал(а):

$$d\mathcal{E}=([\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]d\mathbf{L})\equiv\langle\mathbf{v},d\pmb{\ell},d\mathbf{L}\rangle.$$

мифический вектор $[\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]$ есть просто $\mathbf{E}_\text{индукции}.$

Получается, вопроса, как его находить, это всё не снимает: необходимо решать глобально ДУЧП либо для $\mathbf{E},$ либо для $\mathbf{v},$ один фиг. Плюс во втором случае неоднозначность выделения слагаемого $\mathbf{E}_\text{индукции}$ из $\mathbf{E}$ с точностью до гармонического слагаемого.

[Metford]

Интересная тема. Навела на мысли определённые. Только вот уточнить бы хотелось.

Munin в сообщении #740392 писал(а):

линия поля $d\pmb{\ell}$

Можно бы точную формулировку того, что Вы понимаете под этим обозначением?