Закон сохранения силовых линий

[Munin]

Я сейчас понял (через три года), что вообще всё это сыро и недоработано.

$d\pmb{\ell}$ - это "небольшой кусочек линии поля", её направляющий вектор, к тому же помноженный на элемент длины. Но я явно где-то забыл плотность (линий в пространстве)! Поэтому формулы стали довольно фигнёй.

Кроме того, сейчас я считаю проблемой даже не сами линии, а просто вопрос, как вычислить локальную $\mathbf{E},$ не решая $\operatorname{rot}\mathbf{E}=\ldots$ для всего пространства.

[Metford]

Да, несколько изменилась постановка вопроса за три года.

Но я скорее даже не о написанных тогда формулах говорил, а о самой идее перенесения линий поля. Может быть, из неё что-то и вышло бы.

[Munin]

В общем, чтобы "въехать обратно" в эту тему, мне понадобится некоторое время. И я пока не уверен вообще, что нужно. Могу вообще всё подарить вам.

[Metford]

Ну, дарить-то погодите. У меня у самого ещё всё только в воображении и весьма расплывчато. Нужно подумать, но если что-то надумается более или менее разумное - мыслями поделюсь.

[Metford]

Munin
Посмотрите: знакома Вам эта статья Леонтовича в УФН?

[Munin]

О, интересно! Спасибо, буду читать!

[Munin]

Леонтович М.А. Эволюция представлений о магнитных и электрических силовых линиях // УФН 84 715–721 (1964)

Собственно, там написан полный ответ на мой вопрос в этой теме, и ответ неутешительный:

Цитата:

Действительно, как вытекает из сказанного, силовая линия может быть релятивистски инвариантным геометрическим образом, если только она движущаяся. Это значит, что в четырехмерном пространстве (координат и времени) она представляет собой многообразие двух измерений. Сечение этого многообразия плоскостью (в четырехмерном пространстве) $t=\mathrm{const}$ дает многообразие одного измерения — линию в обычном трехмерном пространстве.
Движущиеся релятивистски инвариантные магнитные силовые линии получаются из системы уравнений для их элементов $(d\mathbf{r}, dt)$


$$[d\mathbf{r},\mathbf{B}]+c\mathbf{E}\,dt=0, \eqno (1)$$

$$(\mathbf{E},d\mathbf{r})=0. \eqno (2)$$

Эта система уравнений релятивистски инвариантна; она может быть записана в четырехмерной тензорной форме


$$F_{ik}dx^k=0,$$

где $F_{ik}$ — тензор электромагнитного поля, a $dx^k$ — это $dx, dy, dz$ и $c\,dt.$
Система четырех уравнений (1) и (2) для $dx, dy, dz, dt$ имеет для них ненулевые решения, если только


$$(\mathbf{E},\mathbf{B})=0. \eqno (3)$$

При этом условии из четырех уравнений для четырех дифференциалов $dx, dy, dz, dt$ алгебраически независимыми являются только два. Таким образом, эта система может определять многообразие двух измерений. Однако для этого требуется еще выполнение условий интегрируемости системы двух уравнений для четырех полных дифференциалов. Это условие интегрируемости имеет вид


$$\Bigl[\mathbf{B},\quad\operatorname{rot}\mathbf{E}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\Bigr]-\mathbf{E}\operatorname{div}\mathbf{B}=0 \eqno (4)$$

и удовлетворяется в силу уравнений Максвелла.
Из уравнений (1) вытекает, что при $dt = 0\quad d\mathbf{r}$ параллельно $\mathbf{B}$ и, следовательно, $d\mathbf{r}$ — элемент силовой линии. Умножив (1) векторно на $\mathbf{B},$ получим


$$d\mathbf{r}=\dfrac{\mathbf{B}(\mathbf{B},d\mathbf{r})}{B^2}+c\dfrac{[\mathbf{E},\mathbf{B}]}{B^2}dt$$

откуда видно, что компонента скорости, перпендикулярная к $\mathbf{B},$ равна


$$\mathbf{w}=c\dfrac{[\mathbf{E},\mathbf{B}]}{B^2}$$

и, значит, при учете условия (3) $w=cE/B.$ Этот вывод был дан Ньюкомбом (1958).
Добавим еще, что если условие (3) не выполнено ($\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ не перпендикулярны друг другу), можно показать, что инвариантных магнитных силовых линий вообще нельзя построить.

<...>

Инвариантные электрические силовые линии можно определить совершенно аналогично тому, как это сделано для магнитных. Для этого нужно сделать во всех уравнениях замену $\mathbf{B}$ на $\mathbf{E}$ и $\mathbf{E}$ на $-\mathbf{B}.$ Вместо уравнений (1), (2) мы получим


$$[d\mathbf{r},\mathbf{E}]-c\mathbf{B}\,dt=0,$$

$$(\mathbf{B},d\mathbf{r})=0.$$

Это тоже релятивистски инвариантная система уравнений. Она может быть записана в виде $F^*_{ik}dx^k=0,$ где $F^*_{ik}$ — д у а л ь н ы й   т е н з о р   п о л я. Опять необходимо выполнение условия (3). Условие интегрируемости получается из (4) заменой $\mathbf{B}$ на $\mathbf{E}$ и $\mathbf{E}$ на $-\mathbf{B}$ и имеет вид


$$\Bigl[\mathbf{E},\quad\operatorname{rot}\mathbf{B}-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Bigr]+\mathbf{B}\operatorname{div}\mathbf{E}=0 \eqno (5)$$

Но эти условия уже не удовлетворяются в любой точке поля, а в силу второй пары уравнений Максвелла приводятся к условиям


$$[\mathbf{E},\mathbf{j}]+c\mathbf{B}\rho=0 \eqno (6)$$

(где $\rho, j$ — плотности заряда и тока). Только при условиях (6), которые, очевидно, выполняются всюду, где нет зарядов и токов, можно построить инвариантные электрические силовые линии. Делая замену $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ в выражении для скорости дрейфа магнитных линий, получим скорость дрейфа электрических линий:


$$\mathbf{w}_\ast=-c\dfrac{[\mathbf{E},\mathbf{B}]}{E^2}, \eqno (7)$$

и, значит, $w_\ast=cB/E.$

<...>

В случае, когда $(\mathbf{E},\mathbf{B})\ne 0,$ нельзя построить ни инвариантных магнитных, ни инвариантных электрических силовых линий. Однако можно искать более общие геометрические (кинематические) образы, а именно, некие «гибридные» силовые линии, которые (правда, в очень частном случае) определяют движение зарядов в поле.
Именно, можно искать силовые линии вектора


$$\mathbf{P}=\mathbf{B}+\lambda\mathbf{E}.$$

Соответствующий четырехмерный тензор будет $F_{ik}+\lambda F^*_{ik}$ и мы должны рассматривать, кроме $\mathbf{P}$ (обобщение $B$), вектор


$$\mathbf{Q}=-\lambda\mathbf{B}+\mathbf{E},$$

являющийся обобщением $\mathbf{E}$ и дополняющий $\mathbf{P}.$ Вместо (1) и (2) напишем дифференциальные уравнения «гибридной» силовой линии в виде


$$[d\mathbf{r},\mathbf{P}]+c\mathbf{Q}\,dt=0,$$

$$(\mathbf{Q},d\mathbf{r})=0.$$

Условие существования ненулевых решений будет $(\mathbf{P},\mathbf{Q})=0,$ т. е.


$$\lambda^2+\dfrac{B^2-E^2}{(\mathbf{EB})}\lambda-1=0, \eqno (8)$$

что дает два значения $\lambda=\lambda(x, y, z, t).$
Условие интегрируемости будет


$$\Bigl[\mathbf{P},\quad\operatorname{rot}\mathbf{Q}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}\Bigr]-\mathbf{Q}\operatorname{div}\mathbf{P}=0; \eqno (9)$$

оно налагает еще более сложные условия на распределение полей, чем условие (6) для электрических линий при $(\mathbf{EB})=0.$
Однако сразу же можно указать тривиальный случай, где условие (9) выполняется. Это случай однородного стационарного магнитного поля и однородного электростатического поля, не перпендикулярных друг другу. В этом случае мы всегда можем выбрать такую систему отсчета $K,$ в которой эти поля параллельны друг другу. Направив ось $z$ по их общему направлению, имеем в этой системе отсчета


$$(\mathbf{EB})=E_z B_z,\quad B^2-E^2=B_z^2-E_z^2,$$

и корни уравнения (8) будут


$$\lambda=\dfrac{E_z}{B_z}\quad\text{и}\quad\lambda=-\dfrac{B_z}{E_z}.$$

Первое значение дает


$$P_z=\dfrac{B_z^2+E_z^2}{B_z},\quad P_x=P_y=0,\quad\mathbf{Q}=0.$$

Следовательно, в системе $K$ мы имеем неподвижные силовые линии вектора $\mathbf{P}.$ В любой другой системе отсчета они будут двигаться и легко можно будет найти скорость их дрейфа. Это гибридные магнитно-электрические линии (другой корень дает электрически-магнитные линии). Силовые линии гибридного сектора $\mathbf{P}$ можно «овеществить». Действительно, представим себе, что в системе $K$ пущен по направлению $z$ (т. е. по направлению векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$) узкий пучок электронов. Они будут сохранять направление своего движения, и, таким образом, цепочка электронов отметит гибридную магнитно-электрическую силовую линию.