2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Решить уравнение в натуральных числах
Сообщение23.06.2013, 16:48 
Нужно решить уравнение $m^3+n^3=2(m^2\cdot n^2+mn)$ в натуральных числах.
Пытался решить, но натыкался только на противоположное, например $(0;0)$ или $m=n$, а до ответа никак не дойду.

 i  Deggial: формулы поправил. Все формулы оформляйте $\TeX$ом

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах
Сообщение23.06.2013, 20:54 
Аватара пользователя
Boris143
Сразу устанавливаем, что $m=n=0$ является решением уравнения. Но 0 не является натуральным числом, по крайней мере, согласно традициям советской математической школы.

Рассмотрим заданное уравнение как кубическое относительно переменной $m.$ Перепишем его в следующем виде:
$m^3-2n^2m^2-2mn+n^3=0$

и по формуле Виета для свободного члена $n^3$ получим
$n^3=-c_1c_2c_3,$

где $c_1,~c_2,~c_3$ - корни заданного уравнения.

Понятно, что среди натуральных чисел корней заданного уравнения нет.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах
Сообщение25.06.2013, 08:39 
Аватара пользователя
Boris143
Может быть, действительно, следует подставить в кубическое уравнение относительно $m$ делители числа $n^3$ и рассмотреть корни получающихся уравнений?

Второй путь, который представляется перспективным, - это представление уравнения в следующем виде и рассмотрение корней получающихся систем уравнений:
$(m+n)(m^2-mn+n^2)=2mn(mn+1),$

$(m+n)((m+n)^2-3mn)=2mn(mn+1).$


Если же решение уравнения предполагает знание теории чисел, то... :facepalm:

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах
Сообщение25.06.2013, 09:15 
angor6 в сообщении #739706 писал(а):
Перепишем его в следующем виде:
$m^3-2n^2m^2-2mn+n^3=0$

и по формуле Виета для свободного члена $n^3$ получим
$n^3=-c_1c_2c_3,$

где $c_1,~c_2,~c_3$ - корни заданного уравнения.

Понятно, что среди натуральных чисел корней заданного уравнения нет.
Ошибочное рассуждение (попробуйте понять, почему).
angor6 в сообщении #740172 писал(а):
Если же решение уравнения предполагает знание теории чисел, то... :facepalm:
Здесь есть разные подходы. Можно и обойтись без теории чисел.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах
Сообщение25.06.2013, 11:02 
Посмотрите, каким может быть общий делитель $m$ и $n$?
И еще. Уравнение можно переписать в виде
$n^3=m(2mn^2+2n-m^2)$
а также
$m^3=n(2m^2n+2m-n^2)$
Какой отсюда следует вывод?

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах
Сообщение25.06.2013, 17:51 
Аватара пользователя
nnosipov
Может быть, я и ошибся в своих рассуждениях. Учитывая, что речь идёт о натуральных корнях, я полагал, что знак "минус" появиться не должен. :oops:
И жара действует расслабляюще... :roll:

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group