Решить уравнение в натуральных числах

[Boris143]

Нужно решить уравнение $m^3+n^3=2(m^2\cdot n^2+mn)$ в натуральных числах.
Пытался решить, но натыкался только на противоположное, например $(0;0)$ или $m=n$, а до ответа никак не дойду.

Deggial: формулы поправил. Все формулы оформляйте $\TeX$ом

[angor6]

Boris143
Сразу устанавливаем, что $m=n=0$ является решением уравнения. Но 0 не является натуральным числом, по крайней мере, согласно традициям советской математической школы.

Рассмотрим заданное уравнение как кубическое относительно переменной $m.$ Перепишем его в следующем виде:

$m^3-2n^2m^2-2mn+n^3=0$

и по формуле Виета для свободного члена $n^3$ получим

$n^3=-c_1c_2c_3,$

где $c_1,~c_2,~c_3$ - корни заданного уравнения.

Понятно, что среди натуральных чисел корней заданного уравнения нет.

[angor6]

Boris143
Может быть, действительно, следует подставить в кубическое уравнение относительно $m$ делители числа $n^3$ и рассмотреть корни получающихся уравнений?

Второй путь, который представляется перспективным, - это представление уравнения в следующем виде и рассмотрение корней получающихся систем уравнений:

$(m+n)(m^2-mn+n^2)=2mn(mn+1),$

$(m+n)((m+n)^2-3mn)=2mn(mn+1).$

Если же решение уравнения предполагает знание теории чисел, то...

[nnosipov]

angor6 в сообщении #739706 писал(а):

Перепишем его в следующем виде:
$m^3-2n^2m^2-2mn+n^3=0$

и по формуле Виета для свободного члена $n^3$ получим
$n^3=-c_1c_2c_3,$

где $c_1,~c_2,~c_3$ - корни заданного уравнения.

Понятно, что среди натуральных чисел корней заданного уравнения нет.

Ошибочное рассуждение (попробуйте понять, почему).

angor6 в сообщении #740172 писал(а):

Если же решение уравнения предполагает знание теории чисел, то...

Здесь есть разные подходы. Можно и обойтись без теории чисел.

[Cash]

Посмотрите, каким может быть общий делитель $m$ и $n$?
И еще. Уравнение можно переписать в виде
$n^3=m(2mn^2+2n-m^2)$
а также
$m^3=n(2m^2n+2m-n^2)$
Какой отсюда следует вывод?

[angor6]

nnosipov
Может быть, я и ошибся в своих рассуждениях. Учитывая, что речь идёт о натуральных корнях, я полагал, что знак "минус" появиться не должен.
И жара действует расслабляюще...