2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Наименьшее значение функции при ограничении
Сообщение19.06.2013, 17:42 
Есть функция $f(x,y)=x^3+y^3$ и множество $x^2-xy+y^2=5$ Необходимо найти точки, где функция достигает наименьшего значения на этом множестве. Подскажите, пожалуйста, наиболее рациональный способ. Пытаюсь использовать тождество $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, но ничего толкового не выходит.

 
 
 
 Re: Наименьшее значение функции при ограничении
Сообщение19.06.2013, 17:50 
Аватара пользователя
Дак а что это за множество-то, знаете?

 
 
 
 Re: Наименьшее значение функции при ограничении
Сообщение19.06.2013, 18:09 
ну да, это эллипс, повернутый, судя по всему, на 45 градусов. Я думал о замене координат, но это слишком длинный путь, мне кажется.

 
 
 
 Re: Наименьшее значение функции при ограничении
Сообщение19.06.2013, 18:44 
AlexeyS в сообщении #738360 писал(а):
Пытаюсь использовать тождество $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, но ничего толкового не выходит

Почему не выходит?
$x^3+y^3=5(x+y)$
Т.е. нужно найти минимум $x+y$ - всяко проще...
Нарисуйте свой эллипс и посмотрите на семейство прямых $x+y=a$

 
 
 
 Re: Наименьшее значение функции при ограничении
Сообщение19.06.2013, 19:04 
ну да, пришлось все-таки координаты менять, но все получилось. Спасибо!

 
 
 
 Re: Наименьшее значение функции при ограничении
Сообщение19.06.2013, 19:35 
Вообще-то, всё намного проще. Достаточно того, что эллипс симметричен относительно прямой $y=x$ (даже знать, что это эллипс нам необязательно - некая выпуклая ограниченная кривая). Откуда следует, что в точке минимума $x_{\min}=y_{\min}$

 
 
 
 Re: Наименьшее значение функции при ограничении
Сообщение19.06.2013, 20:24 
Подскажите, в таком случае, как можно установить, что это множество - выпуклая ограниченная кривая

 
 
 
 Re: Наименьшее значение функции при ограничении
Сообщение19.06.2013, 20:30 
AlexeyS в сообщении #738438 писал(а):
Подскажите, в таком случае, как можно установить, что это множество - выпуклая ограниченная кривая

Не, лучше все-таки знать, что это эллипс!!!

 
 
 
 Re: Наименьшее значение функции при ограничении
Сообщение19.06.2013, 20:37 
Аватара пользователя
Cash в сообщении #738410 писал(а):
Вообще-то, всё намного проще. Достаточно того, что эллипс симметричен относительно прямой $y=x$ (даже знать, что это эллипс нам необязательно - некая выпуклая ограниченная кривая). Откуда следует, что в точке минимума $x_{\min}=y_{\min}$

Ничего не понял. Допустим нам надо минимизировать функцию $f(x)=x^2+y^2$ при ограничении $x^4+y^4=1$.

 
 
 
 Re: Наименьшее значение функции при ограничении
Сообщение19.06.2013, 22:08 
Имелось ввиду что максимум ищется для $x+y$
Наверное, коряво написал. Подразумевал, что не нужно в данной задаче выписывать эллипс. Достаточно небольших знаний о нем.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group