Наименьшее значение функции при ограничении

[AlexeyS]

Есть функция $f(x,y)=x^3+y^3$ и множество $x^2-xy+y^2=5$ Необходимо найти точки, где функция достигает наименьшего значения на этом множестве. Подскажите, пожалуйста, наиболее рациональный способ. Пытаюсь использовать тождество $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, но ничего толкового не выходит.

[ИСН]

Дак а что это за множество-то, знаете?

[AlexeyS]

ну да, это эллипс, повернутый, судя по всему, на 45 градусов. Я думал о замене координат, но это слишком длинный путь, мне кажется.

[Cash]

AlexeyS в сообщении #738360 писал(а):

Пытаюсь использовать тождество $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, но ничего толкового не выходит

Почему не выходит?
$x^3+y^3=5(x+y)$
Т.е. нужно найти минимум $x+y$ - всяко проще...
Нарисуйте свой эллипс и посмотрите на семейство прямых $x+y=a$

[AlexeyS]

ну да, пришлось все-таки координаты менять, но все получилось. Спасибо!

[Cash]

Вообще-то, всё намного проще. Достаточно того, что эллипс симметричен относительно прямой $y=x$ (даже знать, что это эллипс нам необязательно - некая выпуклая ограниченная кривая). Откуда следует, что в точке минимума $x_{\min}=y_{\min}$

[AlexeyS]

Подскажите, в таком случае, как можно установить, что это множество - выпуклая ограниченная кривая

[mihailm]

AlexeyS в сообщении #738438 писал(а):

Подскажите, в таком случае, как можно установить, что это множество - выпуклая ограниченная кривая

Не, лучше все-таки знать, что это эллипс!!!

[мат-ламер]

Cash в сообщении #738410 писал(а):

Вообще-то, всё намного проще. Достаточно того, что эллипс симметричен относительно прямой $y=x$ (даже знать, что это эллипс нам необязательно - некая выпуклая ограниченная кривая). Откуда следует, что в точке минимума $x_{\min}=y_{\min}$

Ничего не понял. Допустим нам надо минимизировать функцию $f(x)=x^2+y^2$ при ограничении $x^4+y^4=1$.

[Cash]

Имелось ввиду что максимум ищется для $x+y$
Наверное, коряво написал. Подразумевал, что не нужно в данной задаче выписывать эллипс. Достаточно небольших знаний о нем.