Существование обратного оператора

[truestyle]

Не могу справиться со следующей задачкой:
пусть $X$ - линейное пространство, $A,B: X \to X$ - линейные операторы, с $D(A) = D(B) = X$, удовлетворяющие соотношениям $AB + A + I = 0, BA + A + I = 0$.
Доказать, что оператор $A^{-1}$ существует.

Пробовал воспользоваться теоремой о том, что, если обратный оператор существует, то для данного оператора справедлива оценка $||Ax|| \geq m||x||$, где $m>0$.
Все мои попытки произвести оценку приводили к тому, что $||Ax||$ больше некоторого отрицательного числа, что не даёт ровным счетом ничего.
В какую сторону думать ?

[ИСН]

Дикая какая-то формулировка (что известно про B? Ничего?), но если так, то смотрим: положим, $||Ax||=0$ для какого-то ненулевого x. Тогда чему равно $(BA + A + I)x$, например?

[truestyle]

ИСН в сообщении #737555 писал(а):

что известно про B? Ничего?

Про B ничего не знаем.

ИСН в сообщении #737555 писал(а):

чему равно $(BA + A + I)x$, например?

Так как $||Ax|| = 0$, то $Ax = 0$.
$(BA + A + I)x = B(Ax) + Ax + Ix = Ix = x$

[ИСН]

Ага, вот. Ноль это или не ноль? Не ноль. А с другой стороны? $(BA + A + I)x=0x=0$
Значит что?

[Xaositect]

Зачем так сложно, если из соотношений очевидно, какой именно оператор является $A^{-1}$?

[truestyle]

ИСН в сообщении #737561 писал(а):

Значит что?

$\forall x \in X: x \ne 0, (BA + I)x = 0$ ?

-- 17.06.2013, 16:26 --

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #737563 писал(а):

Зачем так сложно, если из соотношений очевидно, какой именно оператор является $A^{-1}$?

К сожалению. не для меня .

[svv]

truestyle
Предположим, что для некоторого $x\neq 0$ будет $Ax=0$.
Вы показали, что тогда $(BA + A + I)x = x \neq 0$.
А с другой стороны $(BA + A + I)x = 0x = 0$.

Иными словами, предположив это, мы получили, что не ноль равен нулю. Вывод?

[truestyle]

svv в сообщении #737571 писал(а):

Вывод?

Единственный ноль оператора это и есть сам ноль ?

[svv]

Да. Это ещё так пишут: $\operatorname{ker}A=\{0\}$.

[truestyle]

svv в сообщении #737577 писал(а):

Да. Это ещё так пишут: $\operatorname{\ker}A=\{0\}$.

Тогда мы можем сказать, что оператор взаимно однозначен, т.к. его множество нулей состоит только из самого нуля. А это уже доказывает факт существования обратного оператора

[svv]

А теперь попробуйте получить явно сам обратный оператор (о чем говорил Xaositect).
Я начну:
$BA + A + I = 0$ (дано)
$(B + I)A + I = 0$

[truestyle]

svv в сообщении #737585 писал(а):

$(B + I)A + I = 0$

$(B+I)A \cdot A^{-1} + I \cdot A^{-1} = B + I + A^{-1} = 0$, $A^{-1} = -B -I$

[svv]

Да. Или так:
$(B + I)A + I = 0$
$(-B -I)A = I$
Отсюда уже видно, ведь $A^{-1}A=I$.

[Xaositect]

Еще должно быть $AA^{-1} = I$, для этого дано второе равенство.