Изменить порядок интегрирования

[edw1n]

$$\int_{-1}^{1}dx\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}fdy$$

Нарисовал график, попробовал сделать, получил:

$$x=\pm\sqrt{1-y^2}$$

Ответ правильный ?

$$\int_{-1}^{1}dy\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{+\sqrt{1-y^2}}fdx$$

Спасибо.

[Otta]

Нет. По какой области получилось интегрирование? Словами.

[edw1n]

Otta в сообщении #736889 писал(а):

Нет. По какой области получилось интегрирование? Словами.

Интеграл я не брал, просто построил график, и там где

$$y=\sqrt{1-x^2}$$

выразил

$$x$$

и получил вот такое.
Простите, я там ошибку сделал, уже изменил.
График - это половина круга, по x от -1 до 1, а по y от 0 до 1.

[Otta]

Как бы Вы брали интеграл, если у Вас не дана подынтегральная функция. Понятно, что не брали.

Изменений не вижу. График - это график чего? Желательно бы знать. Не можете сказать словами - рисуйте. Иначе Ваши выводы могут оказаться неверными. Что и произошло.

Upd Ага. Половина круга. Так почему этого не видно? Кнопка "правка" еще доступна.

[edw1n]

Это график

$$y=\sqrt{1-x^2}$$

[Otta]

edw1n
Вы меня не поняли. Исходный интеграл - да, по половине круга. А окончательный? Попробуйте нарисовать, по чему.

[edw1n]

Окончательный - это та же половина круга, только она находится в I и IV четверти в ПДСК.
Получилось:
y - от -1 до 1
х - от 0 до корень квадратный из 1-y в квадрате.
Наша график перевернулся просто на 90 градусов по часовой стрелке.

[Otta]

edw1n в сообщении #736912 писал(а):

Окончательный - это та же половина круга, только она находится в I и IV четверти в ПДСК.

Нет, это Вам показалось. Стройте внимательнее.

[edw1n]

Константные пределы останутся константными в любом случае. Единственное что нужно сделать, это выразить х. Что я и сделал. График будет такой же как изначальный, только перевёрнутый на 90 градусов.
$y=\sqrt{1-x^2}$
$y^2=1-x^2$
$x^2=1-y^2$
$x=\pm\sqrt{1-y^2}$
Что не так ?

[ewert]

edw1n в сообщении #736886 писал(а):

$$\int_{-1}^{1}dy\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{+\sqrt{1-y^2}}fdx$$

Вот Вы написали интеграл. Теперь по этому интегралу нарисуйте область. Совпадает она с той, что нужна?...

Когда увидите, что не совпадает -- должно стать понятным, как исправить пределы.