Set Theory? or Number theory

[Keter]

Let $M$ is set of rational numbers.

i) the number $0$ belongs to the set $M$;

ii) if $m$ belongs to $M$, then the number $m +1$ and $m-1$ also belong to $M$;

iii) if $m$ belongs to $M$ and not equal to $0$ or $1$, then $\dfrac{m}{m(m-1)}$ belongs to $M$.

Is it true that $M$ contains all rational numbers?

[lena7]

Мне кажется у вас очепятка в (iii). Ибо сейчас всё просто: $m$ сокращаем и, с учетом (ii), из (iii) следует: если $m\in M$ и $m\neq 0$, то $1/m\in M$. Далее получаем любое рациональное число как (конечную) цепную дробь.

[xmaister]

Было
Пардон, не внимательно прочитал условие.

[Keter]

lena7 в сообщении #735182 писал(а):

Далее получаем любое рациональное число как (конечную) цепную дробь.

Можно чуть подробнее


xmaister, да, там по-сложнее.

[lena7]

Keter в сообщении #735185 писал(а):

Можно чуть подробнее

Мы можем получить любое целое $m_1$, а также

$$\dfrac 1 {m_1},\quad m_2+\dfrac 1{m_1},\quad m_3+\dfrac 1{m_2+\dfrac 1{m_1}},\quad \ldots,\qquad m_i\in \mathbb Z,\quad m_i\neq 0$$

Любое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби (например, по алгоритму Евклида).

[Keter]

Пусть там опечатка и iii) $\dfrac{1}{m(m-1)}.$

Как понимать такое решение:

Consider $M$ to be the set of all $\dfrac{a}{b}$ with $|a|$ is a square $(\mod |b|)$ with $0$. It satisfies the conditions but $\dfrac{2}{5} \notin M$
???

[lena7]

Так и понимать. Множество $M'$, состоящее из нуля и дробей $a/b$, где $|a|$ есть квадрат по модулю $|b|$, удовлетворяет условиям задачи. То есть $M\subseteq M'$. Но, например, $\frac 25\notin M'$, потому что $2\not\equiv x^2 \pmod 5$ ни для какого $x$.

[Keter]

lena7, а как математически более строго показать, что $M'$ удовлетворяет условиям задачи?
Например, если iii)$\dfrac{1}{x-1}$, то $M'$ уже не будет удовлетворять условиям?

[lena7]

Keter в сообщении #735283 писал(а):

а как математически более строго показать, что $M'$ удовлетворяет условиям задачи?

Взять и проверить все условия. В лоб. Попробуйте сами, иначе это уже не "Олимпиадные задачи", а "Помогите решить/разобраться" получается.

Keter в сообщении #735283 писал(а):

Например, если iii)$\dfrac{1}{x-1}$, то $M'$ уже не будет удовлетворять условиям?

Нет. Например, $\frac 27\in M'$ ($2\equiv 3^2\pmod 7$), но $\frac 1{2/7-1}=-\frac 75\not\in M'$ ($7\equiv 2\not\equiv x^2\pmod 5$ ни для какого $x$).