Квантование скалярного поля с лагранжианом без кин члена

[espe]

Тогда не знаю. Посмотрю завтра.

[espe]

Blancke_K в сообщении #1056695 писал(а):

Но вот Вайнберг в конце параграфа 7.1 пишет коммутационные соотношения ддя свободной теории, а в теории с взаимодействием переходит в картину Гейзенберга, чтобы написать их. Вопрос: а зачем переходить в представление Гейзенберга , решая 2 ненужных диффура, если опять-таки можно было все постулировать и в Шредингеровском представлении?

Я не знаю зачем это он делает, наверно из каких-то педагогических целей, своими путями идёт к тому же результату.

Допустим мы постулируем, что в какой-то (начальный) момент времени $t_0$ выполняются соотношения

$$[\varphi_A(t_0,x), \pi^B(t_0,y)]=i\hbar \delta(x-y)\delta^B_A,$$

$$[\varphi_A(t_0,x), \varphi_B(t_0,y)]=[\pi^A(t_0,x), \pi^B(t_0,y)]=0.\eqno(0)$$

В картине Шрёдингера операторы не зависят от времени и, следовательно, эти соотношения выполняются в произвольный момент времени. Это не зависит свободная теория или со взаимодействием, теория скалярного поля или какого-либо другого.

В картине Гейзенберга любой оператор, не зависящий явно от времени, $O(q,p)$ имеет уравнения движения

$$i\hbar\frac{dO}{dt}=[O,H] \eqno(1)$$

В частности, для гамильтониана имеем $\frac{dH}{dt}=0,$ т.е. гамильтониан не зависит от времени $H(t)=H(t_0)$. Для произвольного оператора $O$ (в том числе для канонических переменных) решение уравнения (1) формально можно записать в виде ($\hbar=1$)

$$O(t)=\exp(i(t-t_0)H)\;O(t_0)\;\exp(-i(t-t_0)H)$$

$$\varphi_A(t,x)=\exp(i(t-t_0)H)\;\varphi_A(t_0,x)\;\exp(-i(t-t_0)H)$$

$$\pi^B(t,y)=\exp(i(t-t_0)H)\;\pi^B(t_0,y)\;\exp(-i(t-t_0)H)$$

Теперь используя эти решения и соотношения (0) можно найти одновременные коммутационные соотношения в произвольный момент времени. Результат будет иметь вид

$$[\varphi_A(t,x), \pi^B(t,y)]=i\hbar\delta(x-y)\delta^B_A,\qquad [\varphi_A(t,x), \varphi_B(t,y)]=[\pi^A(t,x), \pi^B(t,y)]=0.$$

И этот результат опять не зависит свободная теория или нет, также не зависит от типа полей --- скаляры это или нет.

[Blancke_K]

espeСпасибо. Мне стало понятно.