Квантование скалярного поля с лагранжианом без кин члена

[Munin]

Blancke_K в сообщении #1056549 писал(а):

Все, проквантовали?

Ну да.

[Blancke_K]

Munin
А как будут выглядеть коммутационные соотношения для полевых переменных $\varphi,\chi$ и сопряженных им импульсов?
Меня просто всегда интересовал следующий вопрос, из-за которого я и написал в этой теме.
В каких в принципе случаях полевые операторы и сопряженные им импульсы не удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям?
(В этом примере не удовлетворяют из-за вершины $\partial_{\mu}\varphi\partial^{\mu}\chi$)

[Munin]

А давайте вы проделаете замену переменных, диагонализирующую кин. член, напишете коммутационные соотношения в новых переменных, и переведёте в старые?

[Blancke_K]

Если позволите, расскажу кратко. Переменные я уже ввел: $\widetilde{\varphi}=\varphi+c\chi$, $\widetilde{\chi}=\sqrt{1-c^{2}}\chi$.
Кин.член в этих переменных имеет диагональный вид.
Канонические коммутационные соотношения:

$[\pi_{\widetilde{\varphi}}(\overrightarrow{x}),\widetilde{\varphi}(\overrightarrow{y})]=i\delta^{3}(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$

$[\pi_{\widetilde{\chi}}(\overrightarrow{x})\widetilde{\chi}(\overrightarrow{y})]=i\delta^{3}(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$
переход к старым переменным приводит к соотношениям:

$[\pi_{\chi}(\overrightarrow{x}),\chi(\overrightarrow{y})]-c[\pi_{\varphi}(\overrightarrow{x}),\chi(\overrightarrow{y})]=\sqrt{1-c^{2}}i\delta^{3}(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$

$[\pi_{\varphi}(\overrightarrow{x}),\varphi(\overrightarrow{y})]+c[\pi_{\varphi}(\overrightarrow{x}),\chi(\overrightarrow{y})]=i\delta^{3}(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$

Остается только вопрос, можно ли с чистой совестью положить равным нулю коммутатор $[\pi_{\varphi}(\overrightarrow{x}),\chi(\overrightarrow{y})]$ или ...?

[Munin]

Вы забыли ещё написать $[\pi_{\widetilde{\varphi}}(\overrightarrow{x})\widetilde{\chi}(\overrightarrow{y})]=[\pi_{\widetilde{\chi}}(\overrightarrow{x})\widetilde{\varphi}(\overrightarrow{y})]=0.$

[Blancke_K]

вот именно этого я и не понимаю, хоть и знаю, что так надо написать)

-- 25.09.2015, 18:20 --

Munin
А, стоп. Не заметил тильды. С этими равенствами я согласен, да.
То есть Вы предлагаете добавить еще 2 уравнения?

-- 25.09.2015, 18:50 --

Вообщем, досчитал с Вашей подсказкой. Результат следующий:

(1) $[\pi_{\chi}(\overrightarrow{x}),\chi(\overrightarrow{y})]=\sqrt{1-c^{2}}i\delta^{3}(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$

(2) $[\pi_{\varphi}(\overrightarrow{x}),\varphi(\overrightarrow{y})]=i\delta^{3}(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$

(3) $[\pi_{\varphi}(\overrightarrow{x}),\chi(\overrightarrow{y})]=0$

(4) $[\pi_{\varphi}(\overrightarrow{x}),\chi(\overrightarrow{y})]=0$

Неплохо было бы разобраться в том, что получилось. С одной стороны, полученное выглядит как обычные канонические коммутационные соотношения, кроме соотношения (1), в котором присутствует фактор $\sqrt{1-c^{2}}$, не играющий никакой роли, если $|c|\neq 1$. Возможно, я обсчитался и его на самом деле нет. Как проверить, не проводя повторных выкладок?
С другой стороны, что мешало нам сразу сказать, что (1)-(4) выполняется?

[Blancke_K]

Перепроверил, фактора $\sqrt{1-c^{2}}$ в соотношении (1) на самом деле нету.
Весьма забавно.
Однако одна вещь мне по-прежнему непонятна: имели ли мы право сразу постулировать (1)-(4) (с учетом исправленной ошибки) или это необходимо было показать так, как сделал я?
Жду комментария от умного человека Munin

[Munin]

А не знаю :-) Я не настолько умный. Давайте подождём ещё кого-нибудь.

[Blancke_K]

Надо бы вопрос получше сформулировать на самом деле.

[espe]

Blancke_K в сообщении #1056554 писал(а):

В каких в принципе случаях полевые операторы и сопряженные им импульсы не удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям?

Ни в каких.

Blancke_K в сообщении #1056597 писал(а):

Однако одна вещь мне по-прежнему непонятна: имели ли мы право сразу постулировать (1)-(4) (с учетом исправленной ошибки) или это необходимо было показать так, как сделал я?

Должны были постулировать. Это постулат канонического квантования.

[Blancke_K]

espe
Почему же тогда люди целые книги посвящают вопросам канонического квантования систем со связями, канонического квантования теорий с калибровочной симметрией и т.д.?
Если все просто берем и постулируем))

[espe]

Чтобы правильно построить каноническую формулировку теории и потом правильно всё остальное делать. А наложение на канонически сопряжённые переменные канонических коммутационных соотношений --- это постулат. По принципу соответствия для любых величин $A$ и $B$ их коммутатор (делёный на $i\hbar$) в классическом пределе должен переходить в скобку Пуассона. В том числе и для координат и импульсов.

[Blancke_K]

espe
Я понимаю, о чем Вы говорите и почти на 100% согласен с Вами.
Но вот Вайнберг в конце параграфа 7.1 пишет коммутационные соотношения ддя свободной теории, а в теории с взаимодействием переходит в картину Гейзенберга, чтобы написать их. Вопрос: а зачем переходить в представление Гейзенберга , решая 2 ненужных диффура, если опять-таки можно было все постулировать и в Шредингеровском представлении?

[espe]

У меня сейчас нет рядом Вайнберга, а скачивать из интернета --- не охота время убивать, посмотрю завтра. Но подозреваю следующее.

Канонические коммутационные соотношения они одновременнЫе,т.е.

$$[\varphi_A(t,x), \pi^B(t,y)]=i\hbar \delta(x-y),\qquad [\varphi_A(t,x), \varphi_B(t,y)]=[\pi^A(t,x), \pi^B(t,y)]=0.$$

Думаю, что он там считает что-то для разных времён, что-то типа $[\varphi_A(t_1,x), \varphi_B(t_2,y)].$

[Blancke_K]

espe
Нет, у него одновременные, конечно. Для полей и сопряженных им импульсов. Но операторы от времени понятное дело зависят в этом представлении, никто не спорит.
Я бы залил скрин 2-х страниц, но не знаю как.
Еще надо бы мне найти прхожий пример в Боголюбове-Оксаке...