формула приближенного вычисления

[Someone]

salang в сообщении #733709 писал(а):

надо найти приближенное выражение для $1/\sqrt {1+a^2}$ с первой степенью а в выходном выражении

$\frac 1{\sqrt{1+a^2}}=1+0\cdot a+o(a)$

[salang]

а o(a)- это что?

[Someone]

"о-малое", естественно

[provincialka]

salang в сообщении #733709 писал(а):

надо найти приближенное выражение для $1/\sqrt {1+a^2}$ с первой степенью а в выходном выражении
Если удастся взять интеграл в бесконечных пределах от $e^{-ax^4-bx^2}$ без спецфункций, то здорово.

Так, здрасьте! Откуда взялся интеграл, если надо найти приближенное значение простой функции?
Может, наоборот, нужен какой-то интеграл, а уж внутри та функция? Так и пишите!

[ИСН]

Я понял: ТС находится между Сциллой и Харибдой. Первая - это приближённое выражение, а вторая - тот интеграл. Логической связи между ними нет никакой. Но одну из этих бед надо как-то преодолеть.

[Otta]

ИСН в сообщении #733790 писал(а):

Но одну из этих бед надо как-то преодолеть.

Нет, преодолеть надо явно обе.

salang
Вы не знаете, как пишется интеграл? Нате:

\int_0^\infty

Так вот, $\int_0^\infty e^{-ax^4-bx^2} \, dx$ никак не сводится к $\int_0^\infty e^{-ax^2-bx} \, dx$. Это Вы, дружище, замены делать не умеете. Первообразная не считается ни там, ни там. Если она у Вас посчиталась во втором интеграле - Вы ошиблись.

[salang]

Someone в сообщении #733734 писал(а):

"о-малое", естественно

аналитическое выражение для него есть?

provincialka в сообщении #733759 писал(а):

salang в сообщении #733709 писал(а):

Так, здрасьте! Откуда взялся интеграл, если надо найти приближенное значение простой функции? Может, наоборот, нужен какой-то интеграл, а уж внутри та функция? Так и пишите!

да, функция для которой ищется приближение находится в показателе подинтегральной экспоненты.

ИСН в сообщении #733790 писал(а):

Но одну из этих бед надо как-то преодолеть

одного решения вполне достаточно. Или приближенно вывести первое выражение или указанный интеграл вывести

Otta в сообщении #733809 писал(а):

Так вот, $\int_0^\infty e^{-ax^4-bx^2} \, dx$ никак не сводится к $\int_0^\infty e^{-ax^2-bx} \, dx$. Это Вы, дружище, замены делать не умеете. Первообразная не считается ни там, ни там. Если она у Вас посчиталась во втором интеграле - Вы ошиблись

простая замена $x^2=z$ не проходит, потому что $dz=2x$ и выражение становится еще сложнее интегрировать. Мой интеграл в бесконечных пределах, а не от 0 и есть табличное решение: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^4-bx^2} \, dx=\sqrt{\pi/a}e^{b^2/4a}$, впрочем оно есть и для указанных Вами пределов: $\int_0^\infty e^{-ax^4-bx^2} \, dx=\sqrt{\pi}/2\sqrt{a}e^{b^2/4a}erfc(-b/2\sqrtх{a})$. А вот для $\int_0^\infty e^{-a^2x^4-2b^2x^2} \, dx=2^{-0,5a}b/ae^{b^4/2a^2}K_0,25(b^4/2a^2)$
C erf я могу взять следующий интеграл, а с фунцией Бесселя нецелого порядка от мнимого аргумента-нет

[provincialka]

(Оффтоп)

удивительно, у человека такие познания в интегралах, и такое невежество в других вопросах. Какое может быть аналитическое выражение у о-малого?!

Хорошо, интеграл мы видим. А при чем тут функция $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$, с которой все и началось?

[salang]

provincialka в сообщении #733852 писал(а):

(Оффтоп)

удивительно, у человека такие познания в интегралах, и такое невежество в других вопросах. Какое может быть аналитическое выражение у о-малого?!

Хорошо, интеграл мы видим. А при чем тут функция $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$, с которой все и началось?

Эти интегралы совершенно несекретные и приведены книгах еще 60-х годов прошлого века. В наборе ошибся, в первых двух выражениях показатель экспоненты должен быть $-ax^2-bx$
Это приближение я хотел использовать для понижения степени переменной интегрирования, чтобы в показателе экспоненты остались переменные только 1-й и 2-й степени, потому что со 2-й и 4-й не удается произвести аналитический расчет дальше. Разумеется, можно в Matlab нарисовать график численно (правда это достаточно долго), но для расчета корреляционой функции сигнала мне нужен аналитический вид.

[ИСН]

Ещё одно усилие. Слова должны следовать одно за другим, не вот так а.
Что, что, как и зачем Вы делаете со своим интегралом от $e^{-ax^4-bx^2}$, отчего вдруг где-то (где?) вылезает $1\over\sqrt{1+a^2}$?

[provincialka]

Вот умеет человек сказать, ничего не сказав. Никакой новой информации вы не дали. Если исходный интеграл был от е в степени многочлен, то при чем тут дробь и корень? Как одно с другим связано? Вы замену делали, или еще чего-то?

[salang]

ИСН в сообщении #733868 писал(а):

Что, что, как и зачем Вы делаете со своим интегралом от $e^{-ax^4-bx^2}$, отчего вдруг где-то (где?) вылезает $1\over\sqrt{1+a^2}$?

в выражении, куда входит частота Допплера есть еще $x^2$, поэтому и возникло желание понизить степень x приближенным выражением, пользуясь тем, что значение высоты составляет $10^6$, а максимальное значение y равно 1000.

provincialka в сообщении #733869 писал(а):

Вот умеет человек сказать, ничего не сказав. Никакой новой информации вы не дали. Если исходный интеграл был от е в степени многочлен, то при чем тут дробь и корень? Как одно с другим связано? Вы замену делали, или еще чего-то?

дробь и корень появились при переходе от полярных координат в прямоугольные

[ИСН]

Открываются всё новые двери, и каждая ведёт куда-то вбок.
Уберите физику. (Это и оффтопик здесь, и я её не знаю вовсе, например.) Оставьте математический вопрос. В чём он состоит? У Вас предположительно был интеграл $\int_0^\infty e^{-a^2x^4-2b^2x^2}\,dx$. Был он или нет? Такой или не такой? У Вас или у дяди? И что с ним делали, наконец, что получился корень?
Буквы про замену координат я вижу, но они не делают смысла. В интеграле (если интеграл действительно такой) нет никаких полярных координат. Есть x. Его на что-то заменили? Как, зачем, на что?

[salang]

ИСН в сообщении #733881 писал(а):

Открываются всё новые двери, и каждая ведёт куда-то вбок.
Уберите физику. (Это и оффтопик здесь, и я её не знаю вовсе, например.) Оставьте математический вопрос. В чём он состоит? У Вас предположительно был интеграл $\int_0^\infty e^{-a^2x^4-2b^2x^2}\,dx$. Был он или нет? Такой или не такой? У Вас или у дяди? И что с ним делали, наконец, что получился корень?
Буквы про замену координат я вижу, но они не делают смысла. В интеграле (если интеграл действительно такой) нет никаких полярных координат. Есть x. Его на что-то заменили? Как, зачем, на что?

Физику привел только для объяснения откуда что взялось. Да, такой интеграл был и есть, только не от нуля, а от минус бесконечности. Причем 2 интеграла- по x и по y. У меня, не у дяди. Я выразил углы через x и y, потому что по углам очень сложные интегралы получаются. Поэтому полярных координат уже нет ,т.к. перешли в декартовы. x и y ни на что не заменял, они являются переменными интегрирования. Хотел только понизить степень переменной, чтобы была возможность взять следующий интеграл и все.

[ИСН]

ОК. У Вас был интеграл $\int_{-\infty}^\infty e^{-a^2x^4-2b^2x^2}\,dx$. Хорошо. Так а откуда корень-то, узнаем ли мы, наконец?

-- Пт, 2013-06-07, 11:45 --

У меня забрезжила отдалённая догадка. Это как-то связано с тем, что интеграл - по x и по y? В исходном интеграле в показателе степени был среди прочих член вида $-x^2y^2$?