Разложение в ряд Лорана и область сходимости, ТФКП

[SDmitry]

День добрый!

Не могу разобраться, как мне разложить в ряд Лорана функцию:
$\frac{1}{(z^2-1)(z^2+4)}$
по степеням $z - z_0$, если $z_0 = 0$. Я так понимаю, что это просто называется разложить по степеням $z$. И определить область сходимости.

Заранее благодарю!

[Otta]

Разложите в сумму простейших дробей.
Даже не обязательно простейших, просто более простых.

[SDmitry]

Тогда получу что-то вроде этого:

$\frac{1}{z-1} + \frac{1}{z+1} + \frac{1}{z+2i}+ \frac{1}{z-2i}$

Теперь поидее я должен разложить каждую из этих дробей в ряд и сложить?

[Otta]

Ну можно и проще, для Ваших целей хватит. Сгруппируйте первые две и последние две, а потом раскладывайте.

[SDmitry]

Теперь вопрос, как и в соседней теме:

Без явного ограничения модуля в условии я не могу применять формулу и должен раскладывать первую дробь, как и предыдущей теме? Сумма z^n мне тут не поможет, ведь модуль тут не ограничен единицей, верно? Поэтому просто по общему случаю раскладываю каждую и складываю?

[Ms-dos4]

SDmitry
Нарисуйте области, в которых вы раскладываете вашу функцию и сразу всё станет ясно - для каждой особой точки получится свой круг сходимости. Как только вы выходите за него, начитайте раскладывать по степеням $\[\frac{1}{z}\]$ (ну и конечно, нужно всё это потом скомбинировать по областям).

[SDmitry]

Я таких рассуждений не слышал. Можете поподробнее, пожалуйста?

[Ms-dos4]

SDmitry
Лекции прогуливали? Качайте любой учебник по ТФКП

[SDmitry]

Так, для каждой дроби получил ряд c общими членами:

$(-1)^{n+1}z^n$

$z^n$

$\frac{-1^{n+1}}{(-2i)^{n+1}}z^n$

$\frac{-1^{n+1}}{(2i)^{n+1}}z^n$

Всё ли верно?

Если да, то дальше я должен написать ряд, в котором просто сложить все коэффициенты и умножить на $z^n$. Если это делать в лоб, то получается коэффициент страшного вида, как тут быть?

Всё ли сделано верно до этого момента?

[Ms-dos4]

SDmitry
Где там коэффициенты страшного вида?
$\[\frac{1}{{({z^2} - 1)({z^2} + 4)}} = \frac{1}{{10}} \cdot \frac{1}{{z - 1}} - \frac{1}{{10}} \cdot \frac{1}{{z + 1}} - \frac{i}{{20}} \cdot \frac{1}{{z + 2i}} + \frac{i}{{20}}\frac{1}{{z - 2i}}\]$

1)Разложение во внутреннем круге

"Подготовим" дроби
$ \[\frac{1}{{({z^2} - 1)({z^2} + 4)}} = - \frac{1}{{10}} \cdot \frac{1}{{1 - z}} - \frac{1}{{10}} \cdot \frac{1}{{1 - ( - z)}} - \frac{1}{{40}}\frac{1}{{1 - ( - \frac{z}{{2i}})}} - \frac{1}{{40}} \cdot \frac{1}{{1 - \frac{z}{{2i}}}}\]$

Само разложение
$\[\frac{1}{{({z^2} - 1)({z^2} + 4)}} = - \frac{1}{{10}}(\sum\limits_{k = 0}^\infty {{z^k}} + \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{( - 1)}^k}{z^k}} ) - \frac{1}{{40}}(\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{{{(2i)}^k}}}{z^k}} + \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{{{(2i)}^k}}}{z^k}} )\]$

ну и немного упростим

$\[\frac{1}{{({z^2} - 1)({z^2} + 4)}} = - \frac{1}{5}\sum\limits_{k = 0}^\infty {{z^{2k}}} - \frac{1}{{20}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{{{(2i)}^{2k}}}}{z^{2k}}} \]$

Вот и всё разложение во внутреннем круге (если конечно я наспех где нибудь не ошибся, поэтому советую проверить)

Теперь ваша задача разложить функцию в круговом кольце. Теперь дроби вида $\[\frac{1}{{z - 1}}\]$ и $\[\frac{1}{{z + 1}}\]$ нужно раскладывать не по степеням $\[z\]$, а по степеням $\[\frac{1}{z}\]$. Другие две не трогать - они в круговом кольце будут выглядеть так же.

[Otta]

Но вообще, это надо сильно себя не любить, так раскладывать.
Намекалось, что необязательно раскладывать до простейших. Хватит разложения вида

$$ \frac 1 {(z^2-1)(z^2+4)} = \frac{a}{1-z^2}+\frac b{z^2+4}$$

Константы в числителе можно получить, представив старый числитель в виде удачной линейной комбинации из знаменателей (метод, в обиходе именуемый "добавить-вычесть"), или как-нибудь еще.

[SDmitry]

Сразу вопрос, в формуле в методичке идёт речь о том, что сумма считается от отрицательной до положительной бесконечности. Здесь так специально написано, разницы нет или же ошибка?

[Otta]

SDmitry в сообщении #733104 писал(а):

Сразу вопрос, в формуле в методичке идёт речь о том, что сумма считается от отрицательной до положительной бесконечности. Здесь так специально написано, разницы нет или же ошибка?

Стоп. В заголовке было что-то написано про ряды Лорана. Не подскажете, как они выглядят?

[provincialka]

Где "здесь"? В методичке? Ряд Лорана именно такой, там могут быть и отрицательные степени. Только у вас в задаче маловато данных: у одной функции может быть несколько разложений, в разных областях (кольцах). Значит, должно быть указано кольцо или сказано: разложить во всех кольцах.

[Ms-dos4]

Otta

(Оффтоп)

Я это прекрасно понимаю. Но в общем случае раскладывают до простейших - я это для демонстрации и сделал.

SDmitry

Цитата:

Сразу вопрос, в формуле в методичке идёт речь о том, что сумма считается от отрицательной до положительной бесконечности. Здесь так специально написано, разницы нет или же ошибка?

Полностью обе части ряда будут как раз в круговом кольце.