Несложные задачи по электродинамике

[Verbery]

Пожалуйста, подтолкните в ходе решения следующих задач:

1.В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с частотой 30МГц. Определить расстояние, на котором фаза волны изменяется на $270^{\circ}$, на $2520^{\circ}$.
2.Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля волны, распространяющейся вдоль оси $z$ в плоскости $z=0$ равна $\overrightarrow{E_m}=E_0(\overrightarrow{e_x}+\overrightarrow{e_y}e^{j\varphi})$. Определить вид поляризации при $\varphi=60^{\circ}$
3.Разложить единичные векторы $\overrightarrow{e_r}$,$\overrightarrow{e_\varphi}$,$\overrightarrow{e_z}$ цилиндрической системы координат $r$,$\varphi$,$z$ на компоненты $\overrightarrow{e_x}$,$\overrightarrow{e_y}$,$\overrightarrow{e_z}$ в декартовой системе координат $x$,$y$,$z$

[_Ivana]

Подталкиваю - начинайте решать. Какие познания в электродинамике требуются вам для решения первой задачи? А третьей?

[svv]

Наводящий, очень вдохновляющий вопрос по задаче 1.
На каком расстоянии фаза изменится на 360°?

[Verbery]

Я тут решил первую задачу. Скажите правильно или нет

Период волны $360^{\circ}$-за это время волна преодолевает длину волны. Найдём эту длину. Далее выясняем, что $270^{\circ}$ это 0,75 от длины волны, следовательно домножим длину волны на 0,75 и получим то, что требовалось. Так же 2520 это 7 длин волн...

[svv]

Правильно.
Ну, а длину волны Вы, конечно, можете найти.

[Verbery]

Подскажите, а что нужно найти во второй задаче, чтобы определить поляризацию? Поляризация же элиптическая?

[GAA]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: учебные задачи.

Verbery, пожалуйста, правильно выбирайте раздел. Размещение тем не в соответствующих разделах является нарушением правил форума, см. п. I.1.к.

[Verbery]

Решил вторую, получилась круговая поляризация. Не знаю правильно или нет

[svv]

Verbery в сообщении #732440 писал(а):

2.Комплексная амплитуда ... равна $\overrightarrow{E_m}=E_0(\overrightarrow{e_x}+\overrightarrow{e_y}e^{j\varphi})$.

Это только амплитуда, а поле зависит ещё от времени и координат:
$\overrightarrow{E_m} e^{j(\omega t-kz)}=\overrightarrow{E_m} e^{j\alpha}=E_0(\overrightarrow{e_x} e^{j\alpha}+\overrightarrow{e_y} e^{j(\alpha+\varphi)})\;,$
где $\alpha=\omega t-kz$.

Это комплексное представление поля, а наблюдается его вещественная часть:
$\vec E=E_0 (\overrightarrow{e_x} \cos\alpha+\overrightarrow{e_y} \cos(\alpha+\varphi)})$
Здесь я считал, что $E_0$ вещественно.

Компоненты:
$E_x=E_0 \cos\alpha$
$E_y=E_0\cos(\alpha+\varphi)$
Посмотрите на это как на параметрическое ($\alpha$) задание кривой в декартовых координатах $E_x, E_y$. Дальше математика.

(Оффтоп)

Наберите в WolframAlpha строку
plot x=cos a, y=cos(a+pi/3)
Ещё поэкспериментируйте: вместо pi/3 возьмите pi/2, затем 0

[Verbery]

svv, спасибо! Помогли значительно

Ещё хотел спросить. Скажите как в третьей задаче может быть единичный вектор от $\varphi$. Это же угол!

[svv]

Да, $\varphi$ -- это угол. Вместе с тем это просто координата -- некая величина, которая как-то непрерывно меняется в пространстве, и используется вместе с другими величинами для различения точек.

(Оффтоп)

Вообще координаты могут иметь любую размерность. Например, размерность силы, магнитной индукции и давления. Не верите? Вот смотрите. На нашей планете, чтобы указать местоположение чего-то, можно задать широту, долготу и высоту над уровнем океана. Но Вы знаете, что с ростом высоты, по мере удаления от центра Земли, падает вес тела. Так я могу взять эталонное тело (скажем, самого себя) и использовать значение моего веса в данной точке в качестве координаты. Это будет некий приблизительный заменитель высоты. Если, например, мой вес в точке 100 Н, значит, я нахожусь где-то очень высоко над землей, в космосе.
А две другие координаты -- это, например, магнитное поле Земли в данной точке и атмосферное давление в данной точке (по состоянию на такое-то время 15 марта 2013 года, например).

Если в какой-то области пространства эти три величины, вместе взятые, однозначно соответствуют точкам пространства, я имею право использовать их там как координаты.

Понятие координатной линии. Берем некоторую точку с координатами ($r, \varphi, z$). Одну координату, например, $\varphi$, начинаем менять, а остальные ($r$, $z$) фиксируем. Точка начнет смещаться, и получится некоторая линия, в данном случае -- окружность. Полученная таким образом линия называется координатной. В случае цилиндрических координат:
-- координатные линии $r$ -- это радиусы ($r$ меняется, остальные стоят);
-- координатные линии $\varphi$ -- это окружности ($\varphi$ меняется, остальные стоят);
-- координатные линии $z$ -- это вертикальные прямые ($z$ меняется, остальные стоят).

Берем опять точку ($r, \varphi, z$) и строим от неё три вектора. Каждый вектор должен:
-- начинаться в этой точке;
-- быть касательным к "своей" координатной линии (первый вектор к $r$, второй к $\varphi$, третий к $z$);
-- смотреть в сторону увеличения своей координаты, а не уменьшения;
-- иметь единичную длину.

Три вектора, которые выполнили всё это, имеют право называться единичными базисными векторами $\overrightarrow{e_r}, \overrightarrow{e_\varphi},\overrightarrow{e_z}$ в точке ($r, \varphi, z$). Заметьте, что в другой точке направление векторов может быть другим.


На картинке построены в нескольких разных точках векторы $\overrightarrow{e_r}$ (красные), $\overrightarrow{e_\varphi}$ (синие). Серые окружности -- координатные линии $\varphi$, синие векторы им касательны. Клеточки задают эталон длины, благодаря им видно, что изображенные векторы единичные, длиной в одну клеточку. Векторы $\overrightarrow{e_z}$ не показаны, но ясно, что они направлены перпендикулярно экрану.

Итак, тот факт, что $\varphi$ угол, не создаёт никаких препятствий для описанной процедуры.

[Verbery]

svv в сообщении #732783 писал(а):

Итак, тот факт, что угол, не создаёт никаких препятствий для описанной процедуры.

Спасибо вам! Задачи все выполнены и поняты

[arschloach]

svv, а почему у вас на картинке параллельные синие вектора одинаковой длины?-они ж должны по идее захватывать один и тот же угол в единичный радиан не?

[svv]

Длина базисного вектора не обязательно единична:
$|\mathbf e_i|=\sqrt{(\mathbf e_i, \mathbf e_i)}=\sqrt{g_{ii}}$ (без суммирования)
В нашем случае
$|\mathbf e_{\varphi}|=\sqrt{g_{\varphi\varphi}}=\rho$,
то есть чем дальше от начала координат, тем длиннее, а "угол" один и тот же, как Вы и говорите.
Так происходит в случае координатного базиса.

Но в физических приложениях обычно (если речь не об СТО или ОТО) используется физический ортонормированный базис. Этот базис иногда обозначают $\mathbf i_{k}$. И, соответственно, коэффициенты разложения вектора по нему -- "физические" компоненты (а не контра- или ковариантные). Так как базисные векторы единичны и ортогональны, по физическим компонентам можно судить о длине вектора, о проекции на любую ось без привлечения метрического тензора -- физикам это удобно. Например, ЛЛ используют такое без всяких оговорок. В этой задаче, несомненно, имеется в виду такой базис.

Я правильно понял Ваш вопрос?

[arschloach]

да