Корни уравнения

[Surtax]

Недавно наткнулся на уравнение вида:
$x^a=a^x$
Вместо параметра была двойка. Корни 2 и 4 я быстро подобрал вручную и еще один корень я нашел примерно графически. Потом я заметил, что при четных положительных значениях $a$ уравнение всегда имело 3 корня, а при положительных нечетных 2, причем один из корней всегда был равен значению самого параметра.
Вопрос - возможно ли аналитически вывести формулу для корней уравнения при любом значении параметра?

[provincialka]

Уравнение довольно известное. Прологарифмируйте его и разделите переменные. Получите равенство $\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln a}{a}$. Теперь исследуйте функцию $\ln x/x$

[Legioner93]

Surtax в сообщении #732436 писал(а):

Вопрос - возможно ли аналитически вывести формулу для корней уравнения при любом значении параметра?

Конечно

[Nemiroff]

Legioner93 в сообщении #732442 писал(а):

Прологарифмируйте его и разделите переменные.

Еще отрицательные корни.

[provincialka]

Не принято возводить в степень отрицательные числа, т.е. запись $f(x)=x^a$ предполагает, вообще говоря, положительность $x$. Конечно, для некоторых отдельных $a$, рассматриваемых как натуральные (целые) числа возможно возведение в степень и отрицательного числа. Но если рассматривать $a$ как вещественное число, это уже недопустимо.

[Surtax]

Всем спасибо вывел формулы через функцию Ламберта.