Геометрическое неравенство

[TR63]

Rak so dna в сообщении #1197592 писал(а):

дискриминант, конечно, отрицательный

У меня в Куроше (конкретно для кубического уравнения) используется положительность дискриминанта. Но для дискриминанта в общем виде - отрицательность. (Т.е. это не важно).
В этом неравенстве возможна ещё интересная замена: сначала $b=xa$. Получаем однородное неравенство, считая (x) параметром. Тогда достаточно положить $a+c=1$. И у меня возникает вопрос. Исходное достаточно доказать для $a+b+c=1$. Вопрос: достаточно ли тогда доказать исходное неравенство только при $b=0$. Если да (в чём я, конечно, сомневаюсь, но хочется подтверждения; пока это гипотеза), то можно будет задачу обобщить (хотя, вряд ли; нет перестановочности).

[Rak so dna]

TR63 в сообщении #1197600 писал(а):

Вопрос: достаточно ли тогда доказать исходное неравенство только при $b=0$.

Нет, полагая $b=0$ вы тем самым полагаете $a=0$, т.к. у вас

TR63 в сообщении #1197600 писал(а):

$b=xa$

[TR63]

Из того, что $b=xa=0$ и $a+c=1$, также следует, что $x=0$, и (a) - любое, удовлетворяющее условию $(a)\ge0$, $a+c=1$, в том числе, и $a=0$.
Пока не понятно, почему недостаточно решить только при $b=0$, если доказано, что при $a+c=1$ достаточно.

[Rak so dna]

TR63 в сообщении #1197624 писал(а):

Из того, что $b=xa=0$ и $a+c=1$, также следует, что $x=0$

Т.е. вы хотите сказать, что осознанно сделали замену $b=xa$, где $x=0$ ?

TR63 в сообщении #1197624 писал(а):

Пока не понятно, почему недостаточно решить только при $b=0$, если доказано, что при $a+c=1$ достаточно

Потому что вы потеряли свой параметр $x$, т.е. вам надо доказать при $a+c=1$ для всех $x\geqslant0$ а не только для $x=0$

[TR63]

Rak so dna в сообщении #1197625 писал(а):

Потому что вы потеряли свой параметр $x$, т.е. вам надо доказать при $a+c=1$ для всех $x\geqslant0$

Непонятно, почему потерян параметр (x). После замены получаем однородное неравенство с параметром (x).

$$(2+x^2)c^3+(5-8x^2)ac^2+(4x^4-2x^3+x^2+2x-8)a^2c+(3-4x+8x^2-3x^3-2x^4+x^5)a^3\ge0$$

Его достаточно доказать при $a+c=1$?, . (Но, если оно доказано при всех значениях параметра, то оно автоматически верно при одном.)

[Rak so dna]

TR63 вот и докажите это неравенство

[TR63]

С помощью Вольфрама оно просто доказывается. Но это не ответ на мой вопрос.
Rak so dna, спасибо за помощь.