Геометрическое неравенство

[Rak so dna]

arqady в сообщении #738400 писал(а):

-- Ср июн 19, 2013 20:24:37 --
Следующее неравенство похоже на него, но уже верно.
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geqslant\frac{a+b+c}{3}$$

Доказательство следует из неравенства:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{8a^3-2b^3+3a^2c+5b^2a-b^2c+7c^2a-2c^2b}{18(a^2+b^2+c^2)}$$

[arqady]

Rak so dna в сообщении #831637 писал(а):

Доказательство следует из неравенства:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{8a^3-2b^3+3a^2c+5b^2a-b^2c+7c^2a-2c^2b}{18(a^2+b^2+c^2)}$$

Красиво , но неверно : $a=2$, $b=0$ и $c=1.1$.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #831637 писал(а):

Красиво , но неверно : $a=2$, $b=0$ и $c=1.1$.

Спс. нашел ошибку в доказательстве.
Интересно ваше мнение по поводу:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{9a^3-b^3-c^3+5a^2b-4b^2c+8ac^2+2ab^2+7a^2c+2abc}{21(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)}$$

Его я пока не доказал

[Rak so dna]

arqady в сообщении #738400 писал(а):

Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geqslant\frac{a+b+c}{3}$$

Для положительных $a$, $b$ и $c$ имеем:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{10a^3-b^3+3a^2b+8a^2c+3b^2a-2b^2c+8c^2a-2c^2b}{27(a^2+b^2+c^2)}$$

(Оффтоп)

Доказательство сводится к исследованию квадратного неравенства $Y(c)=Pc^2+Qc+R\geqslant 0$ где

$$P =11x^3+4x^2-8x+2\geqslant 0$$

$$Q =2(1+2x^2)(1-4x^2)$$

$$R =7x^5-6x^4+11x^3-x^2-3x+1\geqslant 0$$

$$x=\frac{a}{b}\geqslant 0$$

отсюда сразу следует справедливость неравенства на $0\leqslant x\leqslant \frac{1}{2}$. Минимальное значение:

$$Y_{min} =\frac{13x^8-38x^7+9x^6+95x^5-125x^4+29x^3+30x^2-14x+1}{4P}\geqslant 0$$

для $x\geqslant \frac{1}{2}$

[arqady]

Rak so dna в сообщении #831659 писал(а):

Интересно ваше мнение по поводу:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{9a^3-b^3-c^3+5a^2b-4b^2c+8ac^2+2ab^2+7a^2c+2abc}{21(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)}$$

Выглядит верным, но на олимпиаде такую штуку не поднять, не говоря даже о том, как это найти без компьютера.
Второе Ваше неравенство выглядит более человеческим, но его опять же надо как-то найти.
Всё равно, если отвлечься от олимпиад, Ваши неравенства выглядят впечатляюще!

[Rak so dna]

arqady в сообщении #831861 писал(а):

Выглядит верным, но на олимпиаде такую штуку не поднять, не говоря даже о том, как это найти без компьютера.

Эту "штуку" я даже дома не поднял (нашел ее expmrs)

arqady в сообщении #831861 писал(а):

Второе Ваше неравенство выглядит более человеческим, но его опять же надо как-то найти.

Вы мне доказательство Вашего неравенства засчитываете? (в оффтопе).
На олимпиадность или красоту я не претендую, т.к. любое доказательство Ваших неравенств - уже подвиг (судя по тому что я нашел на этом форуме)

[arqady]

Rak so dna в сообщении #831883 писал(а):

Вы мне доказательство Вашего неравенства засчитываете?

Засчитываю! Только оно не моё. Его придумал Василе Кыртоаже.
Вот моё доказательство:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 20#p427220
извините за мой ужасный английский.

[Rak so dna]

arqady в сообщении #738400 писал(а):

Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geqslant\frac{a+b+c}{3}$$

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}-\frac{a+b+c}{3}=$$

$\sum\limits_{cyc}\frac{bc(a-b)^2(4ab^2+5abc+7bc^2+a^2c+6c^3)}{33(2a^2+b^2)(2b^2+c^2)(2c^2+a^2)}+\sum\limits_{cyc}\frac{c(a^2-2b^2+2ab+2bc-3ca)^2(4ab+bc+3ca+2c^2)}{33(2a^2+b^2)(2b^2+c^2)(2c^2+a^2)}$

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #831659 писал(а):

Интересно ваше мнение по поводу:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{9a^3-b^3-c^3+5a^2b-4b^2c+8ac^2+2ab^2+7a^2c+2abc}{21(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)}$$

Доказательство:
$\frac{x^3}{2x^2+y^2}-\frac{9x^3-y^3-z^3+5x^2y-4y^2z+8xz^2+2xy^2+7x^2z+2xyz}{21(x^2+y^2+z^2)+6(xy+yz+zx)}=$$ \frac{p_1(x,y,z)q_2(x,y,z)+p_2(x,y,z)q_1(x,y,z)}{(2x^2+y^2)[21(x^2+y^2+z^2)+6(xy+yz+zx)][q_1(x,y,z)+q_2(x,y,z)]}$
где:
$p_1(x,y,z)=\frac{z(2x^3-4zx^2+y^2x+3y^3-2zy^2)^2}{4(y^2+2x^2)}+ \frac{21z+116x}{12(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^6+$
$\frac{x(972z^2+2835xz+4016x^2)}{54(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^4+ \frac{x^3(14652z^2+50007xz+9056x^2)}{324(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^2+$
$\frac{x^5(15093z^2+15501xz+21887x^2)}{2187(y^2+2x^2)}$

$q_1(x,y,z)=\frac{1}{3(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^6+ \frac{9z^2+42xz+112x^2}{9(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^4+$
$\frac{x^2(3456z^2+9570xz+5975x^2)}{243(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^2+\frac{x^4(9315z^2+73656xz+2338x^2)}{2187(y^2+2x^2)}$

$p_2(x,y,z)=\frac{z(2x^3-4zx^2+y^2x+3y^3-2zy^2)^2}{4(y^2+2x^2)}+$
$\frac{\left(68x^6-(16y+112z)x^5+28y^2x^4+(20y^3+56zy^2)x^3-(35y^4+48zy^3)x^2+(14y^5+56zy^4)x-7y^6-24zy^5\right)^2}{64(y^2+2x^2)^2(7x(x-\frac{1}{2}y)^2+7(x-\frac{9}{14}y)^2y+\frac{1}{4}xy^2+\frac{3}{28}y^3)}+$
$\frac{(y-x)^2}{64(y^2+2x^2)^2\left(7x(x-\frac{1}{2}y)^2+7(x-\frac{9}{14}y)^2y+\frac{1}{4}xy^2+\frac{3}{28}y^3\right)}\cdot$
$[5\left(7x^5-15x^4y-\frac{51}{5}x^3y^2-\frac{109}{25}x^2y^3-\frac{291}{125}xy^4+\frac{14279}{3125}y^5\right)^2+$
$5\left(10x^5-24x^4y-\frac{42}{5}x^3y^2+\frac{134}{25}x^2y^3-\frac{1638}{125}xy^4+\frac{202}{25}y^5\right)^2+$
$7(x-\frac{3}{5}y)^{10}+\frac{6}{5}(x-\frac{3}{5}y)^8y^2+\frac{217}{25}(x-\frac{3}{5}y)^6y^4+$
$\frac{77802}{3125}(x-\frac{3}{5}y)^4y^6+\frac{50793022}{78125}(x-\frac{3}{5}y)^2y^8+\frac{89855428}{9765625}y^{10}]$

$q_2(x,y,z):=\frac{(y-x)^2}{(y^2+2x^2)^2\left(7x(x-\frac{1}{2}y)^2+7(x-\frac{9}{14}y)^2y+\frac{1}{4}xy^2+\frac{3}{28}y^3\right)}\cdot$
$[\frac{1}{80}(x-\frac{3}{5}y)^8y+\frac{241}{2000}(x-\frac{3}{5}y)^6y^3+\frac{95627}{62500}(x-\frac{3}{5}y)^4y^5+$
$\frac{2525267}{1250000}(x-\frac{3}{5}y)^2y^7+\frac{5793361}{3125000}y^9]$

[TR63]

Rak so dna в сообщении #1195920 писал(а):

Rak so dna в сообщении #831659

писал(а):
Интересно ваше мнение по поводу:

$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{9a^3-b^3-c^3+5a^2b-4b^2c+8ac^2+2ab^2+7a^2c+2abc}{21(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)}$$

Доказательство:

При неотрицательных переменных, если допустимо пользоваться Вольфрамом, сделав замену переменных (например: $a=k_1c$, $b=k_3k_1c$) и приведя к общему знаменателю, получим для исследования кубический многочлен с положительным свободным членом и неотрицательным старшим коэффициентом. Вычислив дискриминант по формуле Кардано или посмотрев на график в Вольфраме, видим, что многочлен имеет только один действительный корень (либо при трёх один будет кратным). Поскольку свободный член положителен, то этот корень (не кратный) может быть только отрицательным. Следовательно многочлен неотрицателен.

$$(3-4k_3+8k_3^2-3k_3^3-2k_3^4+k_3^5)k_1^3+(4k_3^4-2k_3^3+k_3^2+2k_3-8)k_1^2+(5-8k_3^2)k_1+(2+k_3^2)\ge0$$

Я дискриминант не вычисляла (слишком долго).

[Rak so dna]

TR63 в сообщении #1197582 писал(а):

Поскольку свободный член положителен, то этот корень (не кратный) может быть только отрицательным.

Это неверно.

[TR63]

Почему? Я, ведь вывод сделала не из приведённой Вами цитаты, а из: при положительном дискриминанте может быть только один действительный корень (на графике видно, что действительный корень один; конечно, лучше вычислить дискриминант). Количество положительных корней в исследуемом многочлене чётно. Т. е. их нет (либо они кратны, если дискриминант равен нулю; если два отрицательных кратных корня, то третий положителен и свободный член будет отрицателен, но он положителен; противоречие).

[Rak so dna]

TR63 в сообщении #1197586 писал(а):

При положительном дискриминанте может быть только один действительный корень.

Это при отрицательном дискриминанте, но не важно, т.к. сравнить дискриминант этого неравенства с нулем, по-моему, намного тяжелее, чем доказать само неравенство.

[TR63]

Rak so dna в сообщении #1197588 писал(а):

Знак свободного коэффициента говорит лишь о знаке произведения всех корней (и действительных и комплексных).

Это мне известно. Повторяю, что в чистом виде я этим не пользуюсь. Только в связке с дискриминантом. Конечно, его найти тяжело, но вполне реально. Т. е. задача сведена к чисто технической (механической) проблеме.

[Rak so dna]

TR63 да, сейчас проверил. Всё верно! (Только дискриминант, конечно, отрицательный)